AcWing 4. 多重背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V的背包。

第 i种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N<=1000,

0<V≤2000,

0<vi,wi,si≤2000

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

状态分析：

代码实现：

1）朴素写法，易超时

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int dp[N][N];
int w[N],v[N],c[N];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=V;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            for(int k=1;k<=c[i];k++){
                if(k*w[i]<=j)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][V]<<endl;
    return 0;
}

2）空间优化，仍易超时

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int dp[N];
int w[N],v[N],c[N];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=V;j>=1;j--){
            for(int k=1;k<=c[i];k++){
                if(k*w[i]<=j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
    return 0;
}

3）位运算优化+一维优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=25000,M=2005;
int v[N],w[N];
int dp[M];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    int a,b,c,cnt=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a>>b>>c;
        int s=1;
        while(s<c){
            w[cnt]=s*a;
            v[cnt++]=s*b;
            c-=s;
            s<<=1;
        }
        if(c)w[cnt]=c*a,v[cnt++]=c*b;
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=V;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
    return 0;
}