AcWing 3. 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

状态分析：

代码实现：

1）朴素写法，易超时

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1005;
int N,V;
int p[MAX][MAX],v[MAX],w[MAX];
int main(){
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=0;j<=V;j++){
            for(int k=1;k<=j/v[i];k++){
                p[i][j]=p[i-1][j];
                p[i][j]=max(p[i][j],p[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<p[N][V]<<endl;
    return 0;
}

2）一般写法，空间未优化版本

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1005;
int dp[N][N];
int w[N],v[N];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=V;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
            if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n][V]<<endl;
    return 0;
}

3）空间优化版本

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1005;
int N,V;
int p[MAX],v[MAX],w[MAX];
int main(){
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=v[i];j<=V;j++){
            p[j]=max(p[j],p[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<p[V]<<endl;
    return 0;
}