Hahn-Banach 延拓定理与凸集分离定理

标签：Hahn 定理 分离 延拓 超平面 quad

定理1（Hahn-Banach 延拓定理）设 \(E\) 为实数域或复数域上的赋范线性空间，\(G\subset E\) 是其子空间，则对于任一给定的 \(G\) 上的有界线性泛函 \(g\)，（总可以保范延拓到全空间 \(E\) 上）必存在 \(E\) 上的有界线性泛函 \(f\) 使得
(i). \(f(x)=g(x),\forall x\in G;\)
(ii). \(\lVert f\rVert_{E^*}=\lVert g \rVert_{G^*}.\)

  在介绍Hahn-Banach 延拓定理的几何形式，即凸集分离定理之前，我们先来定义集合的的可分离性：

  设 \(E\) 为赋范线性空间，其超平面 \(H=\{x\in E|f(x)=\alpha, f\in E^*\}\) 将 \(E\) 分为左右半空间两部分。

定义2. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，如果存在超平面 \(H\) 使得 \(C\) 和 \(D\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右闭半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可分离。特别地，如果 \(C\) 和 \(D\) 均不含于超平面 \(H\)，那么称 \(C\) 和 \(D\) 可正常分离。

定义3. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，如果存在超平面 \(H\) 使得 \(C\) 和 \(D\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右开半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可严格分离。

定义4. 设 \(C\) 和 \(D\) 为 \(E\) 中非空集合，\(B\) 为单位范数球 \(\{x\in E\mid\lVert x\rVert\leqslant 1\}\)，如果存在 \(\varepsilon>0\) 和超平面 \(H\) 使得 \(C+\varepsilon B\) 和 \(D+\varepsilon B\) 分别包含在与超平面 \(H\) 相关的左右开
半空间，则称 \(C\) 和 \(D\) 可强分离。

  事实上，集合 \(C\) 和 \(D\) 的可分离性有如下等价刻画：

• 可分离(separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)\geqslant\sup_{y\in C} f(y) \]

• 可正常分离(properly separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)\geqslant\sup_{y\in C} f(y)\ 且\ \sup_{x\in C} f(x)>\inf_{y\in C} f(y) \]

• 可严格分离(strictly separated)

\[\exists f\in E^*, \alpha\in \mathbb{R}\quad s.t. \quad\forall x\in C, y\in D: f(x)>\alpha>f(y) \]

• 可强分离(strongly separated)

\[\exists f\in E^*, \quad s.t. \quad\inf_{x\in C} f(x)>\sup_{x\in C} f(y)\\ \text{或}\\ d(C,D)>0\text{，即 0}\in \overline{C-D} \]

  由上述等价刻画显然有：

\[可强分离\Rightarrow可严格分离\Rightarrow可正常分离\Rightarrow可分离 \]

定理5（Hahn-Banach 延拓定理 第一几何形式）设 \(E\) 为实赋范线性空间，\(C, D\subset E\) 是两个非空凸子集且 \(C \bigcap D=\emptyset\)，若 \(C, D\) 中有一个是开集，则 \(C\) 和 \(D\) 可分离。

定理6（Hahn-Banach 延拓定理 第二几何形式）设 \(E\) 为实赋范线性空间，\(C\subset E, D\subset E\) 是两个非空凸子集且 \(C \bigcap D=\emptyset\)，若 \(C, D\) 一个为闭集，另一个为紧集，则 \(C\) 和 \(D\) 可强分离。

标签：Hahn,定理,分离,延拓,超平面,quad
From： https://www.cnblogs.com/BoyaYan/p/17237367.html