昨晚一个同学问我立方和分解，突发奇想想到了这个问题。看到网上关于这个问题的许多解答都不是很准确。在此修正一下。
引理一：立方和公式
对于形如 \(a^3 + b^3\) 的式子，有因式分解：
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
式子两边展开即可证明。
现在考虑 \(x^3 + 1\) 的因式分解，套用立方和公式可知，\(a = x, b = 1\)。因此因式分解可以表示为：
\[x ^ 3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]接下来将 \(x\) 的质数扩展到 \(n(n \in \Z^{+})\)。
考虑可以将 \(x^n + 1\) 分解成 \((x^k + 1)(x^{n - k} - x^{n - 2k} + x^{n - 3k} - x^{n - 4k} + \cdots + 1)\)，其中 \(k \in \Z^{+}\) 且 \(k | n\)。显然，若 \(k = 1\)，对于所有的 \(n\) 都满足 \(k | n\)。
因此可以将 \(x^n + 1\) 分解为 \((x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1)\)。然而由于 \(\dfrac{n}{1}\) 不一定是奇数，所以最后一位可能出现 \(\pm 1\) 两种情况。其中 \(-1\) 的情况不成立。
引理二：对于 \(x^n + 1\)，\(n \in \Z^{+}\) 且 \(n \equiv1 \pmod 2\)（即 \(n\) 为奇数），都有一下因式分解形式：
\(x^n + 1 = (x+1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1)\)
当然，刚才已经解释过一部分了。
\[(x+1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1) = (x + 1)\sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ = x \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i + \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^{i + 1} + \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ =x^n + 1 \]显然，对于 \(n\) 为奇数的情况都有分解。然后有许多文章就断言对于偶数没有分解。这是完全错误的。考虑 \(n = 6\) 的情况。\(x ^ 6 + 1 = (x^2)^3 + 1\)。设 \(a = x^3\)，可以对于 \(a^3 + 1\) 因式分解。所以虽然 \(n = 6\) 为偶数，仍然是可以分解的。
引理三：唯一分解定理：
对于任意大于 \(1\) 的正整数，都可以分解为 \(n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \cdots p_k^{c_k}\)，且表示方式唯一。（\(p\) 为不相等的质数。
对于 \(n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \cdots p_k^{c_k}\)，\((x^n + 1)\) 可以表示为 \(((x^{p_1^{c_1}})^{p_2^{c_2}})^{\cdots p_k^{c_k}} + 1\) 的形式，如果 \(k \ge 2\)，必定有一个 \(p\) 为奇数。（因为只有二为偶质数）。那么它可以被分解。
用类似筛法的思想，我们可以发现，大部分 \(n\) 都可以因式分解，当且仅当 \(k = 1\) 且 \(p = 2\) 时，原式没有因式分解。即：
\(n = 2^a, a\in \Z^{+}\) 时，原式没有因式分解。当然，\(n\) 可以等于 \(2, 4, 8, 16, 32 \cdots\)
对于最后的这种情况，并没有想过完整的证明，希望有人来补充。
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