我们深知严谨的，形式化的推演在数学中所扮演的重要角色，然而必须指出，存在这样一些直觉上的，也即行之有效而不那么严谨的策略，在数学的学习和研究中一样十分重要。
本文其实是G.波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》的读后感。（这本书在二中图书馆的编号是 O1/82）
数学的声誉值得怀疑，它看起来是专业课程中最不受欢迎的学科。对于许多人而言，一个很常见的问题是这样的：
到底是我天赋不够，还是教材不讲人话？
如果你习惯于在看到书本上的一个命题后不立即查看书上给出的解答，而是首先尝试自己证明它的话，那么你可能或多或少地遇到过这样的情况：虽然自己独立想出了该命题的证明，但是这个证明十分冗长，而书上所给出的证明则轻松利用了一个之前已经证明过的引理三两行完成证明，你却没有意识到这个引理恰好可以使用在这里。
这说明在一个好的逻辑系统中，每个命题都被这样安排，使得它能以前面的公理、定义和命题为基础。我们可以将这种编排方式看做这个逻辑系统的作者的最大成就，也是这个逻辑系统的主要价值所在。一般而言，要消去一个专业术语，就必须知道它的定义。但是，如果我们已经知道了关于这个概念的许多定理，并且有了许多使用它们的经验，那么我们就有机会抓住一个有用的定理，而非总是带回到定义去。
据此，我们就可以给开篇的那个问题一个回答了，往往既不能怪教材不讲人话，也不是你没有数学天赋。关系到你是否理解数学的，是你是否具备相关经验，而非你的天赋如何。数学是一门非常抽象的学科，应该十分具体地把它阐述出来。在我们身边那些似乎很擅长数学的人，那些头脑转得很快的人，那些似乎具有先天优势的人，归根结底往往只是拥有更加丰富的经验和更加准确的直觉，更能够看透文字表面之下的本质。
数学是一门具有极高要求严谨性的学科，诸如证明、定义、定理证明和推演等形式化的方法是数学工作的重要组成部分。然而，在这份精湛和复杂的学科中，粗略的，直觉性的方法也同样是至关重要的。这篇文章旨在对比这些直觉上的技巧和策略与形式化的推演和证明，并指出直觉上的技巧和策略在数学学习和研究中的重要性和应用。
数学的教材，宽泛地说，可以分为两类。一类的行文相对自然流畅， 从中很容易就可以看出作者编写时的思路，上下文之间十分连贯。这类作者一般很少使用“定义”、“定理”、“证明”之类的标识符将全文划分成一段一段的。而另一类作者则广泛的使用这类词语，他们习惯于从公理或定义出发，一步一步建立起整个逻辑体系，有时不惜为了某个结论铺垫很久引理和辅助概念。
很难说出这两种行文风格谁更胜一筹，事实上，它们各有各的优点。一般而言，前者更容易让人理解，但是有时牺牲了一定的严谨性。而后者虽然非常严谨，但是往往也被指责为不说人话。
这体现于，把东西用简洁、严谨的方式讲述出来，以方便同行验证，和以外延、启发的方式让更多的人群理解，是需要不同的策略的。一方面，数学作为形式科学，是一门系统的，基于公理及的演绎科学，严谨性毫无疑问是数学的灵魂所在。另一方面也必须认识到，数学在形成过程中看上去却是一种的实验性的归纳科学。而这两个方面都如同数学本身一样古老。
直观的洞察和形式上的证明是获得真理的两种不同的方式。直观的洞察力可能远远领先于形式上的证明，基于逻辑规则的形式操作和纯符号计算也可以远远领先于直觉。
因此我们应当尝试使用“直觉的”理解和“形式的”证明两种方法来确认我们的推理中的每一步都是正确无误的。最重要的是让我们真正确信我们的每一步的正确性。其中“看出”和“证明”之间的区别是值得加以显著区分的：能够看出某个步骤的正确性和对其严格证明是非常不同的。
尽可能形式地证明我们所直观看到的，以及尽可能直观地看出我们所形式证明过的，这是一种增进智力的练习。不幸，在教学中，并不总有时间来这样做。在理想情况下，我们应该同时采用形式推理和直觉洞察这两种方式来确定每一步的正确性。
很明显，我们的非数学知识不能完全基于形式上的证明。虽然数学上的知识一般认为是可以公理化的，但是我们所掌握的任何牢固的知识都应该有一个宽广的实验基础，并在直观的理解中得到扩展。
如果目标是详细地检查论证，那么“欧几里得式”的形式化论证方式值得毫无保留地推荐，但是如果我们是要将某个理论介绍给一个从未听说过它的读者，那么是否采用严格的形式化论证方式是值得商榷的。一个聪明的读者或许能够很容易地看出论证中的每一步都是正确无误的，但是理解论其中的来源、目的以及整个论证中的联系将会成为主要的困难。
是的，聪明的读者不会只满足于验证证明中的每一步都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目标。因为如果最引人注目的步骤的动机和目的任然是不可理解的话，我们在推理和创造力方面就不能学到任何东西。
造成困难的原因是：欧几里得论证展开方式所遵循的顺序，相当经常地与创造它时的自然顺序刚好相反。我们可以认为，探索问题的过程的主要工具是归纳，而收尾时的工具是演绎。因此我们可以认为已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学，而正在形成过程中的数学是一门实验性的归纳科学。
凡是有自尊心的建筑师，在瑰丽的大厦建成之后，决不会把“脚手架”留在那里。然而，一本教材简单地告诉读者某个事实是容易观察到的并加以证明有时是远远不够的。例如，声称“容易发现”
\[\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1) \]并且给出一个使用数学归纳的证明是无厘头的。我们显然不能满足于认识现有的结果，而是要发掘出问题背后的脉络，认识到看起来“神机妙算”的证明，拆掉之前的“脚手架”长什么样。
在实践中，这体现于，一个渐进式的，有助于读者建立直觉的讲述应该逐步逐步给出一些提示，最后再给出完整的解答。在这一点上，许多 Codeforces 上的题解是做得非常好的。这些提示往往以提问的方式给出，通过把一个大问题拆分为若干个小问题的方式帮助读者。
给出的提示不能太多，也不能太少，这样才能使读者有一个合理的思考工作量。要做到这一点，所给出的提示必须谨慎而不留痕迹地帮助读者。换而言之，这样的提示必须是自然而然的，即给出的步骤或提出的问题应当是读者自己本该想到的。
给出的提示或建议应该有两个共同点：常识性和普遍性。常识性意味着它们是显得很自然的，读者自己也可以想得出。而普遍性意味着它们的帮助是（看似）不明显的，即它们只是提出一般的方向而留出足够的思考空间给读者自己进行。
我们的问题必须具有普遍性。如果一个问题或建议太过特殊，那么即使读者能够立即应用这个建议来解决手头的题目，也不能有助于他们解决以后将要碰到题目，或者理解这个建议的提出者是如何获得这样的思路的。因此，过于特殊的建议或问题是不具有一般意义上的启发性的。
从另一个角度看，直观的理解的一个巨大优点在于其往往会建立起对不同数学分支中的知识之间的联系。数学家寻求掌握隐藏在专业术语背后的数学对象的间的联系，而具有一定常识的普通人也应该认真着手于过硬的事实只是浮于文字的表面。
这体现于，任何一本好的教材的首要职责之一就是不能给学生留下这样的印象：数学的各个分支之间几乎没有什么联系，与其他事物也根本毫无联系。好的教材必须引导学生从不同方面来考察题目。强调不同的细节，考察这些细节，然后以不同方式组合这些细节，使得读者能够在考察过程中认出一些他之前已经熟悉的东西，并建立起与其过去所获知识的联系。
这意味着教材必须包含一些有启发性的题目。具体而言，虽然在教授数学时可能需要一些常规题目，有时甚至是许多的常规题目，但是不介绍任何其他类型的，更具有启发性的题目是不可原谅的。如果一本教材只介绍数学运算这种机械的作业而不教授其他的东西，就比一本烹饪食谱的水平还要低得多，因为烹饪食谱确实还留了一些东西由厨师自己想象和判断，但是这样的教育模式却没有这种东西。
从读者的角度看，在领会结果的过程中对一些细微部分重新解释，并继续和积累这样的小优势以最终重新改造整个结果的方面，对数学知识具有直观理解的的人往往比任何初学者处于更有利的位置。具体而言，我们不应该仅仅止步于得到解答，而是应该尝试改进我们的整个解答，尽量使它变得直观，并尽可能自然地把它融入到我们过去所获的知识之中。
我们已经看到，在教授和学习数学的方面，直觉的洞察和理解是极其重要的了。事实上，在实际解题方面，我们也必须认识到有这样一些直觉上的策略一样行之有效。
解题是一种实践性技能。我们是通过模仿和实践来学习任何一种实践性技能的。因此每个人都必须观察和模仿别人在解题时的做法。每一个好的教材都必须逐渐培养学生思维里对题目的理解方式，并帮助学生最终找到适用的解决问题的直觉和经验，而这样的直觉和经验是远比任何具体的数学知识更加重要的东西。
“我的直觉告诉我……”这是探究数学思考最普遍的展开方式。“我的直觉告诉我”，可能不像严谨的证明一样畅销，但是这其中包含了一个不太起眼但是不可或缺的思考过程。数学思维不仅关乎纯粹精细的推断，同时也涉及个人经验的贡献。
对问题进行探索时，我们深知我们所预见的东西并不是确定无疑的，只能有一定的可信性。然而，如果不进行那些仅仅看似正确的，暂时性的考虑，我们就不可能找到最终的确定的答案。
换而言之，比起始终使用严谨的综合分析的方法，我们也不能放弃使用推测的方式。推测是一种类比推断。绝对相信这种推断的真实性可能是不明智的，但是绝对不相信它的真实性也是同样不明智的，也许会更愚蠢。在我们得到完整的解答时，我们应该得到完全的确定性，但是在得到确定性以前，我们常常必须满足于一个多少有一点看似可信的猜测。
作为解决问题的第一步，我们必须理解题目所要表达的意思。在尝试理解某道题目时，我们应该尽可能清晰、生动地使题目形象化。当某道题目的叙述对于我们已经很清楚，并在我们的脑海里已经留下了深刻的印象，以至于我们即使一段时间不去看它也不会担心把它忘掉时就我们可以开始开始着手解决它了。
数学是一门非常抽象的学科，应该十分具体地把它阐述出来。这意味着我们可以尝试画图或者举出一些具体的例子。有时候，一些极端情况特别具有启发性。因为如果一个命题如果是真命题，那么它必须满足所有情况。你有一个不等式吗？不妨想想恰好取等的情况。你有一个长方形吗？不妨考虑一下正方形的情况。
我们之前提到过，好的教材必须引导学生从不同方面来考察题目。从读者的角度看，这意味着我们应该有意识地对问题进行分解和重组。分解和重组是思维的重要活动。我们尝试把一个整体分解为它的各个部分，然后又把这些部分重组，使之成为一个与原来或多或少有些不同的整体。具体而言，我们应该尝试思考这样两个问题：“我能想到另外一个容易推导出这个结论的题设吗？”，以及“我能从题设中得到什么有用的东西吗？”
在解决问题的过程中，我们或许需要与过往的已知的经验建立起联系，并应用一些规则，即一些典型而有用的程序、步骤或行动。然而不折不扣地、刻板地、不加怀疑地套用一条规则，而不管情况是否适用，这就是拘泥。不分青红皂白地套用自己所不能理解的规则，有时将会导致灾难性的后果。仅仅因为某种经验在许多数情况下都适用就不对其适用的条件加以了解和区分的行为，与闭眼开车无异。
相比之下，有判断的、得心应手地联系过往的经验，使用一条规则，并且注意到它所适用的情况，不让规则里的词语模糊了这种做法的意图或错过了情势中出现的良机，这就是变通。
采取恰当的，审时度势的策略，是往往能起到事半功倍的效果的，而本文的主旨，正是在于介绍这样一些直觉上的，行之有效的而不那么严谨的策略。总的来说，形式的演绎和直观的理解是相辅相成，缺一不可的。因此，过度的关注于形式上的严谨性而忽视了内心中直觉上的直观的理解的做法，是不可取的。以直觉的理解代替符号的语言，这样的观点不仅仅适用于数学，也适用于除了数学之外的其他形式科学，例如理论计算机科学，以及许多其他学科。
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