标签：mathbf Bell 数论 sum 笔记 学习 DGF Mul mathrm
一、一些基本定义
加性函数：
\[\forall f\in Add:\gcd(x,y)=1\implies f(xy)=f(x)+f(y)
\]
完全加性函数：
\[\forall f\in Add^*:f(xy)=f(x)+f(y)
\]
积性函数：
\[\forall f\in Mul:\gcd(x,y)=1\implies f(xy)=f(x)f(y)
\]
完全积性函数：
\[\forall f\in Mul^*:f(xy)=f(x)f(y)
\]
点积与点除：
\[(f\cdot g)(x):=f(x)g(x),(f/g)(x):=f(x)/g(x)
\]
Dirichlet 卷积:
\[(f*g)(x):=\sum_{ij=x}f(i)g(j)
\]
Dirichlet 除法：
\[f//g=h\iff f=g*h
\]
Dirichlet 生成函数:
\[\mathbf{DGF}(f):=\sum\frac{f(i)}{i^x}
\]
Bell 级数：
\[\mathrm{Bell}_p(f):=\sum f(p^i)x^i
\]
二、一些基本性质
\[f,g\in Mul\implies f(x^k),f^k,f*g,f\cdot g,f/g,f//g\in Mul
\]
\[\mathbf{DGF}(f*g)=\mathbf{DGF}(f)\mathbf{DGF}(g)
\]
\[\mathrm{Bell}_p(f*g)=\mathrm{Bell}_p(f)\mathrm{Bell}_p(g)
\]
\[f\in Mul\implies\mathbf{DGF}(f)=\prod_p\sum_i\frac{f(p^i)}{x^{ip}}
\]
三、一些例子
\[\epsilon(x):=[x=1]\in Mul^*
\]
\[\mathrm{id}_k(x):=x^k\in Mul^*,1:=\mathrm{id}_0,\mathrm{id}:=\mathrm{id}_1
\]
\[\sigma_k(x):=\sum_{d|x}d^k\in Mul,d:=\sigma_0,\sigma:=\sigma_1
\]
\[\varphi(x):=\sum_{i=1}^x[\gcd(i,x)=1]\in Mul
\]
\[\mu(x)\in Mul,\mathrm{Bell}_p(\mu)=1-x
\]
\[\omega(x)\in Add,\omega(1)=0,\omega(p)=1
\]
\[\ln(x)\in Add^*
\]
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