题目地址
题意:
在一个DAG图中,点 i 只有最多m条出边连向 i+1 ~ i+m(m<=10),边权均为1。对于\(k \in [2,n-1]\),依次输出当点k被删除时1到n的最短路。
分析:
标准做法无非就是预处理1到i的最短路和i到n的最短路,又由于题目性质,对于k我们只需对[k-10,k+10]遍历一下,顺着这个思路下去就能做出来了,复杂度为\(O(nm^2)\)。
我采取了动态dp去解决这道题(动态dp可参考博客)。
思路
我们设\(dp_{\ i}\)为1到i的最短路长度。我们以m=4为例,假设点 i 仅有两条出边连向 i+1、i+4,我们处理出它的状态转移矩阵:第一行第 c 列表示i到i+c是否有边,有则值为1,否则为无穷大。于是可得状态转移方程:(注意,矩阵乘法被重新定义为 \(C_{\ i,j}=min(A_{\ i,k}+B_{\ k,j})\),只满足结合律)
\(\begin{bmatrix}dp_{\ i}\\dp_{\ i+1}\\dp_{\ i+2}\\dp_{\ i+3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \infty & \infty & 1\\0 & \infty & \infty & \infty \\\infty & 0 & \infty & \infty \\\infty & \infty & 0 & \infty \end{bmatrix}\begin{bmatrix}dp_{\ i+1}\\dp_{\ i+2}\\dp_{\ i+3}\\dp_{\ i+4}\end{bmatrix}\)
当一个点被删除时,其状态矩阵的第一行全部被替换为无穷大(之后的代码中用rep
表示某点被删除后的新矩阵)。
由于每次都要获取从头到尾的dp值,所以根本不用拿线段树去维护区间矩阵乘积。我们预处理出前缀乘积和后缀乘积即可。
总复杂度为:\(O(nm^3)\)
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int mod=998244353;
const int maxn = 1e5+5;
const ll inf = 1e9;
int n,m;
struct MT{
ll mt[10][10];
}ar[maxn],pre[maxn],suf[maxn];
MT operator*(const MT& a,const MT& b){
MT c;
for(int i=0;i<m;++i)
{
for(int j=0;j<m;++j)
{
c.mt[i][j]=inf;
for(int k=0;k<m;++k)
{
c.mt[i][j]=min(c.mt[i][j],a.mt[i][k]+b.mt[k][j]);
}
}
}
return c;
}
int main()
{
cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i){
string s;
cin>>s;
auto& mt=ar[i].mt;
for(int i=0;i<m;++i)
mt[0][i]=(s[i]=='0'? inf : 1);
for(int i=1;i<m;++i)
for(int j=0;j<m;++j)
mt[i][j]=(i-1==j?0:inf);
if(i==n)
mt[0][0]=-inf;
}
MT ori,rep;
for(int i=0;i<m;++i)
for(int j=0;j<m;++j)
ori.mt[i][j]=inf;
rep=ar[1];
for(int i=0;i<m;++i)
rep.mt[0][i]=inf;
pre[1]=ar[1];
suf[n]=ar[n];
for(int i=2;i<=n;++i)
pre[i]=pre[i-1]*ar[i];
for(int i=n-1;i>=1;--i)
suf[i]=ar[i]*suf[i+1];
for(int i=2;i<=n-1;++i)
{
MT res=pre[i-1]*rep*suf[i+1]*ori;
if(res.mt[0][0]>=inf)
cout<<"-1 ";
else
cout<<res.mt[0][0]<<" ";
}
}
标签:Atcoder,Teleporter,off,infty,int,MT,bmatrix,const,dp
From: https://www.cnblogs.com/blover/p/17185728.html