导数作为处理函数问题强有力的工具，涉及到的知识与内容极多，本文仅梳理导数部分重要或者提升内容。
一、六小函数画像
导数问题中常见的涉及 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 的六个函数 分别为 \(y=xe^x\) ①，\(y=\dfrac{x}{e^x}\) ②，\(y=\dfrac{e^x}{x}\) ③，\(y=x\ln x\) ④，\(y=\dfrac{\ln x}{x}\) ⑤ ，\(y=\dfrac{x}{\ln x}\) ⑥。要对此六个函数非常敏感，有助于我们进一步解决各类问题。如果实在记不住图像，可以快速求导取极限情况画出大致图像。
图像如下。
在画出这些函数图像的同时我们也可以尝试去找一找这些函数之间的关系。如记①函数为 \(f(x)\) 则可以得到，②函数为 \(-f(-x)\) ，③函数为 \(\dfrac{1}{-f(-x)}\) ，④函数为 \(f(\ln x)\) ，⑤函数为 \(-f(-\ln x)\) ，⑥函数为 \(\dfrac{1}{-f(-\ln x)}\)
二、常见不等式放缩
不等式放缩也是导数问题中相当重要的一个模块，不管是在不等式恒成立求参还是证明不等式恒成立问题中，恰当地使用放缩技巧，可以快速得出答案或者大幅度加快速度，减少运算。
1.切线不等式
（1） \(e^x\geq x+1\) ， \(\ln x \leq x-1\)
（2） \(e^x\geq ex\) ， \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\) ， \(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\)
（3） \(e^x>\dfrac{x^2}{4}\) ， \(e^x>\dfrac{x^3}{27}\) ，对于 \(x>0\) 时成立 （\(e^x>x\)）
（4） \(e^x<-\dfrac{1}{x}\) ， \(e^x<\dfrac{4}{x^2}\) ，对于 \(x<0\) 时成立（\(\ln x<x\) ）
（5） \(\ln x>-\dfrac{1}{x}\) ， \(\ln x>-\dfrac{1}{2x^2}\) ， \(\ln x>-\dfrac{2}{\sqrt x}\) （$\ln x>-\dfrac{1}{x} $）
说明：
可以说切线不等式大部分都由下面这两个最基本的由来，这两个不等式可以根据 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 的图像得到
\[e^x\geq x+1 ①\\\ln x\leq x-1② \]如果我们将上面的 ① 式中的 \(x\) 用 \(x-1\) 替换 则可以得到
\[e^x\geq ex \]如果将 ② 式中的 \(x\) 用 \(\dfrac{x}{e}\) 替换，则可以得到
\[\ln x\leq \dfrac{x}{e} \]而将 ② 式中的 \(x\) 替换为 \(\dfrac{1}{x}\) ，则可以得到
\[\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x} \]上面给出的仅仅是几个较为常见的例子，可见对于 ① 与 ② 两个不等式，将 \(x\) 进行任意替换，都可以生发出新的不等式关系。
我们进一步由 ① 与 ② 得到 两个非常显然的式子
\[e^x>x③\\\ln x <x④，\ln x >-\dfrac{1}{x}⑤ \]上面我们后三条所提到的不等式均由 ③ ④ ⑤ 三个不等式进行了指对运算生发而来。
2.与三角函数有关的不等式
（1） 当 \(x\geq0\) 时，\(\sin x\leq x\) ， \(\cos x\geq 1-\dfrac{x^2}{2}\) （直接理解：泰勒展开 具体泰勒展开的相关知识可以看这篇文章 传送门）
（2） 当 \(0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}\) 时， \(\cos x\leq 1-\dfrac{x^2}{4}\)
（3） 当 \(0< x <\dfrac{\pi}{2}\) 时，\(\sin x<x<\tan x\) （经典不等式，三角函数线证明）
（4） 当 \(0 < x\leq \dfrac{\pi}{2}\) 时，\(\dfrac{\sin x}{x}\geq\dfrac{2}{\pi}\) （割线不等式）
说明：
对于（4）中的不等式可以尝试画图理解
由上面这个图我们可以直观地看到 \(\sin x \geq\dfrac{2}{\pi}x\) 在 \(x\in(0,\dfrac{\pi}{2}]\) 上成立，当且仅当 \(x=\dfrac{\pi}{2}\) 时等号成立。
3.一些常见的不等式
（1）当 \(x>1\) 时，\(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}<\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}<\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\)
（2）当 \(0<x<1\) 时，\(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}>\dfrac{2(x-1)}{x+1}>\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}>\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\)
（3）对数平均值不等式 \(\forall \ \ x_1>x_2>0\) ，\(\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}\)
说明：
（1）中， \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}<\dfrac{2(x-1)}{x+1}\) 其实就是将不等式右边中的 \(x\) 替换为 \(x^2\) 后整体乘 \(\dfrac{1}{2}\)。
证明： \(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}<\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\) 思路：将不等式右边转化为 \((\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x})(\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt x})\)
对数平均值的证明思路：利用 \(\forall \ \ x_1>x_2>0\) 设 \(t=\dfrac{x_1}{x_2}\) ，则 \(t>1\) 于是将不等式全部表示为与 \(t\) 有关的式子从而进行证明。
4.一些不常见的不等式
（1）当 \(x>0\) 时， \(e^x>1+x+\dfrac{1}{2}x^2\)
（2）当 \(0<x<1\) 时，\(\ln {\dfrac{1+x}{1-x}}>2x+\dfrac{2}{3}x^3\) ，当 \(-1<x<0\) 时，\(\ln {\dfrac{1+x}{1-x}}<2x+\dfrac{2}{3}x^3\)
说明：
（1）与（2）均无需多言，泰勒展开证明即可，需要注意的是（2）是三阶泰勒展开
5.伯努利不等式
（1） 当 \(n>1,n\in\mathbb{N}\) 时， \(x>-1\) 时，则有 \((1+x)^n \geq 1+nx\)
（2） 当 \(n>1,n\in\mathbb{N}\) 时，\((1+x)^{\dfrac{1}{n}}\leq 1+\dfrac{1}{n}x\)
（1）与（2）的取等条件均为当且仅当 \(x=0\) 时
说明：
（1）为一个常见且好记的不等式，可以使用数学归纳法或者泰勒展开进行证明。如果将（1）中的 \(x\) 替换为 \(\dfrac{x}{n}\) 则可以得到（2）
三、专题提升
待完成
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