标签：实变 infty 函数 cap times 2022 2023 subset

课程信息

作业

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课程信息

曲阜师范大学统计学院, 2021级数学与应用数学专业5-6班.

上课时间地点: 2-18周, 周二1-2节数学楼201，周四1-2节数学楼201.

教材: 实变函数与泛函分析基础(第四版), 程其襄 张奠宙 胡善文 薛以锋 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040508109.

教学日历

课程讲义 提取码: pvr2

参考资料：

【1】实变函数与泛函分析基础(第四版)学习指导与习题解答, 胡善文 薛以锋 编, 高等教育出版社, 2021, ISBN: 9787040556582.

【2】实变函数（第二版）, 胡适耕 编著, 高等教育出版社, 2014, ISBN: 9787040398878.

【3】 Analysis III, Herbert Amann, Joachim Esche. 世图影印本.

【4】 Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.), Gerald B. Folland. 世图影印本.

【5】 Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Elias M. Stein, Rami Shakarchi. 世图影印本.

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作业

第1周

第1周

书面作业

1. 设\(\{f_n\}\)是定义在集合\(E\)上的函数列, 证明:对\(\forall c\in \Bbb{R}\), 有
   (1) $$E\left[\varlimsup_{n\to \infty}f_n <c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n<c-\frac{1}{k}\right];$$
   (2) $$E\left[\varliminf_{n\to \infty}f_n >c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n>c+\frac{1}{k}\right].$$

2. 设\(f\)和\(g\)均为定义在集合\(E\)上的函数, 证明:

\[R[f>g]=\bigcup_{r\in \Bbb{Q}}\left(E[f>r]\cap E[g<r] \right). \]

3. 设\(\{E_n\}\)是一个集列, 并且

\[A\subset E_n \subset B,\quad \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

证明:　

\[A\subset \varliminf_{n\to \infty}E_n \subset \varlimsup_{n\to \infty}E_n \subset B. \]

4. 证明:

\[(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D),\\ (A\times B)\setminus (C\times D)=((A\setminus C)\times B) \cup (A\times (B\times D)).\]

非书面作业
做完第1章课后习题Ex1-Ex12.

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From： https://www.cnblogs.com/sunfenglong/p/17147021.html