网课的时候想起来之前推过一个经验公式，记一下，以后试着证。
公式
对于 $ ( 1 + a x ) ^ n $( $ a , n $ 为常数, $ x $ 为变量)
其系数最大项为第
\[\lfloor \frac { a ( n + 1 ) } { a + 1 } \rfloor + 1 \]项，此处为二项式展开从左往右的项数，也就是组合数从 $ 0 $ 开始数。
但是注意，这个式子只能保证正确，但并非唯一。当 $ a ( n + 1 ) \mid a + 1 $ 时，有两解，分别为该公式的解和比它小 $ 1 $ 的项。
一个对于服从二项分布的概率最大取值的应用
不难发现，这个公式可以应用在求 $ \xi \sim B ( n , p ) $ ( $ n , p $ 为常数) 中求使 $ P ( \xi = k ) $ 最大的 $ k $ 的值的问题。
因为 $ P ( \xi = k ) = C_n^k * p^k * ( 1 - p )^ { n - k } $ ，假设 $ d = \frac { p } { 1 - p } $ ，那么原式就化为了 $ P ( \xi = k ) = C_n^k * d^k * ( 1 - p )^ n $ ，其中 $ ( 1 - p )^n $ 是常数可以不纳入考虑，于是我们发现问题转化成了求 $ (1+dx)^n $ 系数最大项 $ - 1 $ 。
代入公式，得到答案即为
\[\lfloor \frac { d ( n + 1 ) } { d + 1 } \rfloor \]代入 $ d = \frac { p } { 1 - p } $ 长得太丑没意义，就不放了。
存在多解的原则和原公式一致。
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