标签：lbrace frac rbrace dotsc 离散 通项 连续

关于离散序列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 已知 $a_n - a_{n-1} $ 求其通项 \(a_n\) 的一种方法

背景

在一次聊天中，同学提出一个问题：

已知： \(\lbrace a_n \rbrace\)满足 \(a_n - a_{n-1} = 2n\)

求： \(\lbrace a_n \rbrace\)的通项\(a_n\)表达式。

这个题目乍一看简单：因为 \(\lbrace a_n - a_{n-1} \rbrace\) 是离散序列的一阶差分：\(\frac {a_n - a_{n-1}}{1} = \frac {a_n - a_{n-1}}{n-(n-1)} = \frac {\Delta a_n}{\Delta n}\)，相当于连续函数的一阶导数。于是上述题目相当于连续函数：已知\(f'(x)=2x\)，求\(f(x)\)。这还不简单吗，\(f(x)=x^2+C\)，其中\(C\)为常数。那么对应到离散序列，\(a_n = n^2 + C\)。于是我很快抛出上述答案。

过了一会儿，有同学给出新的答案：\(a_n = (n+1)n + a_0\)

验算一下，我的答案：

\(a_n = n^2 + C\)

\(a_{n-1} = (n-1)^2 + C = n^2 - 2n + 1 + C\)

\(a_n - a_{n-1} = 2n - 1 \neq 2n\)

同学的答案：

\(a_n = (n+1)n + a_0 = n^2 +n + a_0\)

\(a_{n-1} = n(n-1) + a_0 = n^2 -n + a_0\)

\(a_n - a_{n-1} = 2n\)

显然我之前速算的答案是错的。问题出在哪儿呢？

首先，并不怀疑离散域的一阶差分就相当于连续域的一阶求导。

其次，离散域中的\(n\)，大概率也对应连续域中的\(x\)。

那么，最值得怀疑的是离散域中的\(n^2\)并不相当于连续域中的\(x^2\)。

于是很自然地会想到：如果“离散域”（姑且这么称呼：将离散序列所在维度称为“离散域”）和“连续域”关于\(n^2\)、\(x^2\)的表达存在差异，那它们之间有什么规律或者“转换”关系吗？

猜想

猜想1：\(x^2\) vs. \(n(n+1)\)

从上面的例子来看，连续域中的\(x^2\)，对应到离散域应该是\(n(n+1)\)。

注意\(a_n -a_{n-1}\)的写法，表达式左侧两项的下标分别为\(n\)和\(n-1\)，这样在使用离散域到连续域的映射关系会更方便表达。

猜想2：\(x^3\) vs. \(n(n+1)(n+2)\)

进一步猜想：连续域中的\(x^3\)，对应到离散域，不是\(n^3\)，而是\(n(n+1)(n+2)\)。

为此我们尝试将原题改为：

已知：\(a_n - a_{n-1} = n^2\)，求\(a_n\)。

按照最初的想法，相当于连续域的\(f'(x)=x^2\)，所以\(f(x)=\frac{1}{3}x^3 + C\)。如果直接转换为离散域\(a_n=\frac{1}{3}n^3+C\)，答案是错的。这里面犯的错误主要有：离散域的\(n^2\)不等同于连续域的\(x^2\)，而且连续域中的\(x^3\)也不等同于离散域的\(n^3\)。

按照最新的猜想，\(a_n -a_{n-1}=n^2=n(n+1)-n\)，其中\(n(n+1)\)对应连续域的\(x^2\)，\(n\)对应连续域的\(x\)，此时相当于\(f'(x) = x^2 - x\)，因此\(f(x)=\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C\)，再对应到离散域\(a_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) - \frac{1}{2}n(n+1) + C\)，其中常数\(C=a_0\)。

验证

\(a_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) - \frac{1}{2}n(n+1) + C = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n + C\)

\(a_{n-1} = \frac{1}{3}(n-1)n(n+1) - \frac{1}{2}(n-1)n + C = \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n + C\)

\(a_n - a_{n-1} = n^2\)

正确无误！

结论

(1) 对于“离散域”的变量（\(n\)）和“连续域”的变量（\(x\)）的映射关系：

离散域(\(n\))	连续域(\(x\))
\(\lbrace a_n \rbrace\)	\(f(x)\)
\(\lbrace a_n - a_{n-1} \rbrace\)	\(f'(x)\)
\(C\)	\(C\)
\(n\)	\(x\)
\(n(n+1)\)	\(x^2\)
\(n(n+1)(n+2)\)	\(x^3\)
\(\dotsc\)	\(\dotsc\)
\(n(n+1)(n+2)\dotsc(n+k)\)	\(x^{k+1}\)
\(\dotsc\)	\(\dotsc\)
\(n^2=n(n+1)-n\)	\(x^2 - x\)
\(n^3=n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n\)	\(x^3-3x^2+x\)
\(\dotsc\)	\(\dotsc\)

(2) 对于常见的已知\(\lbrace a_n - a_{n-1} \rbrace\)的形式，其通项\(\lbrace a_n \rbrace\)为：

已知 $\lbrace a_n - a_{n-1} \rbrace = $	求 \(\lbrace a_n \rbrace =\)
\(C\)	\(Cn\)
\(n\)	\(\frac{1}{2}n(n+1)+C\)
\(n^2=n(n+1)-n\)	\(\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) -\frac{1}{2}n(n+1)+C\)
\(n(n+1)(n+2)\)	\(\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)+C\)
\(n^3=n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n\)	\(\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)+\frac{1}{2}n(n+1)+C\)
\(\dotsc\)	\(\dotsc\)
\(n(n+1)(n+2)\dotsc(n+k)\)	\(\frac{1}{k+2}n(n+1)(n+2)(n+3)\dotsc(n+k+1)+C\)
上表中的常数\(C\)，可能在很多时候可记为\(a_0\)。

(3) 离散域中的一阶差分，相当于连续域中的一阶求导。

(4) 在已知\(\lbrace a_n - a_{n-1} \rbrace\)表达式、求解\(\lbrace a_n \rbrace\)的过程中，可以先利用一阶差分相当于一阶求导以及离散域（\(n\)）到连续域（\(x\)）的映射关系，得到\(f'(x)\)的表达式，然后积分求出\(f(x)\)，最后再次利用连续域（\(x\)）到离散域（\(n\)）的映射关系得到最终的\(\lbrace a_n \rbrace\)。

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