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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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选择性第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
数列的概念
(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_n\),…，简记\(\{a_n\}\).
解释
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同)
②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列\(1\),\(1\),\(1\)，而由\(1\),\(1\),\(1\)组成的集合是\(\{1\}\)．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如\(1\),\(3\),\(4\)与\(1\),\(4\),\(3\)代表不同的数列，而集合\(\{1,3,4\}\)与\(\{1,4,3\}\)却是相同的．
【例】下列说法错误的是( )
A．数列\(4,7,3,4\)的首项是\(4\)
B．数列\(\{a_n \}\)中，若\(a_1=3\)，则从第\(2\)项起，各项均不等于\(3\)
C．数列\(-1,0,1,2\)与数列\(0,1,2,-1\)不相同
D．数列\(\{2n-1\}\)的第\(k\)项\(a_k=2k-1\)
答案 \(B\)width:1000px;
数列的分类
| 分类标准 | 名称 | 含义 | 例子 |
| 按项的个数 | 有穷数列 | 项数有限的数列 | $1 ,2 ,3 ,4 ,….,n$ |
| 无穷数列 | 项数无限的数列 | $1 ,2 ,3 ,4 ,… ,n ,….$ | |
| 按项的大小 | 递增数列 | $a_n>a_{n-1} (n≥2)$ | $2 ,4 ,8 ,… ,2n ,…$ |
| 递减数列 | $a_n < a_{n-1} (n≥2)$ | $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{n}, \ldots$ | |
| 常数列 | 每项都相等的数列 | $1 ,1 ,1 ,…$ | |
| 摆动数列 | 每项的大小忽大忽小的数列 | $1 ,-2 ,3 ,-4 ,5 ,…$ |
【例】判断以下数列的类型
(1) \(2,4,8,16,…,2^n\)； \(\qquad \qquad\) (2) \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots, \dfrac{1}{2^n},\)；\(\qquad \qquad\) (3)\(a,a,a,a,…\)
答案 (1)递增数列，有穷数列；(2)递减数列，无穷数列；(3)常数列，无穷数列
通项公式
如果数列\(\{a_n\}\)的第\(n\)项与序号\(n\)之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
解释
(1)\(a_n\)与\(\{a_n\}\)是不同的概念，\(\{a_n\}\)表示数列\(a_1\) ,\(a_2\),⋯，而\(a_n\)表示的是数列的第\(n\)项；
(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列\(1 ,0 ,1 ,0，…\)，其通项公式可以是 \(\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{2}\) , \(a_n=\sin ^2 \dfrac{n \pi}{2}\)等.
【例1】已知数列\(1,2,3,4,…\)，则这个数列的一个通项公式是( )
A．\(a_n=1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(a_n=n^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(a_n=n\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(a_n=\sqrt{n}\)
答案 \(C\)
【例2】数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=3^n+n-1\)，则\(a_2\)等于 .
答案 \(10\)
数列与函数的关系
数列就是定义在正整数集\(N^*\)(或它的有限子集\(\{1 ,2 ,3....n\})\)上的函数\(f(n)\)，其图象是一系列有限或无限孤立的点.
如
数列\(a_n=n^2\)与函数\(y=x^2\)的比较
| \(a_n=n^2\) | \(y=x^2\) | |
|---|---|---|
| 定义域 | \(N^*\) | \(R\) |
| 图象 |  |
 |
| 增减性 | 递增数列 | 在\((-∞,0)\)递减 |
| 在\((0,+∞)\)递增 | ||
| 最值 | 最小项\(1\)，无最大项 | 最小值\(0\)，无最大值 |
日后研究数列性质可以从函数角度出发，比如单调性，最值等.
基本方法
【题型1】数列的概念
【典题1】 下列叙述正确的是( )
A．数列\(1,3,5,7\)与\(7,5,3,1\)是同一数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．数列\(0,1,2,3,…\)的通项公式是\(a_n=n\)
C．\(-1,1,-1,1,…\)是常数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1,2,2^2,2^3,…\)是递增数列，也是无穷数列
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)、数列\(1,3,5,7\)与数列\(7,5,3,1\)中顺序不同，不是同一数列，故\(A\)错误；
对于\(B\)、数列\(0,1,2,3,…\)的通项公式是\(a_n=n-1\)，故\(B\)错误；
对于\(C\)、常数列的通项为\(a_n=a\)，则\(-1,1,-1,1,…\)不是常数列，故\(C\)错误；
对于\(D\)、\(1,2,2^2,2^3,…\)是递增数列，也是无穷数列，故\(D\)正确．
故选：\(D\)．
【巩固练习】
1.下列说法不正确的是( )
A．数列不一定有通项公式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．数列的通项公式不一定唯一
C．数列可以用一群孤立的点表示 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．数列的项不能相等
2.下列说法正确的是( )
A．数列\(1,-2,3,-4,…\)是一个摆动数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．数列\(-2,3,6,8\)可以表示为\(\{-2,3,6,8\}\)
C．\(\{a_n\}\)和\(a_n\)是相同的概念 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，\(A\)正确；
对于\(B\)，数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，\(B\)正确；
对于\(C\)，数列中n为正整数，可以用一群孤立的点表示，\(C\)正确；
对于\(D\)，数列的项的可以相等，\(D\)错误；
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 根据摆动数列的概念，\(A\)正确；
数列\(-2,3,6,8\) 不能表示为集合\(\{-2,3,6,8\}\)，
数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故\(B\)错误．
\(\{a_n\}\)表示数列的全部的项，而\(a_n\)表示数列的第\(n\)项，不是同一概念，故\(C\)错；
数列的通项公式可以有多个，\(D\)错误．
故选：\(A\)．
【题型2】 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
【典题1】 写出下列数列\(\{a_n\}\)的一个通项公式：
(1)\(-7 ,14 ,-21 ,28，…\)； \(\qquad \qquad\) (2) \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots\)；
(3)\(2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…\)； \(\qquad \qquad\) (4)\(2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….\)
解析 分解结构法
(1) 数列\(-7 ,14 ,-21 ,28，…\)每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，
| 序号 | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(……\) | \(n\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 符号 | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \((-1)^n\) | |
| 绝对值 | \(7\) | \(14\) | \(21\) | \(28\) | \(7n\) | |
| 项 | \((-1)^n 7n\) |
故\(a_n=(-1)^n 7n\)；(奇偶性的符号变换规律可考虑\((-1)^n\)或\((-1)^{n-1}\)).
(2) 数列 \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots\)每项可分解成分子和分母相除得到，
| 序号 | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(……\) | \(n\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 分子 | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(2n-1\) | |
| 绝对值 | \(4\) | \(8\) | \(61\) | \(32\) | \(2^{n+1}\) | |
| 项 | \((2n-1)2^{n+1}\) |
(分子相邻数之间的差是\(2\)，是等差数列；分母相邻数之间是\(2\)倍的关系，是等比数列)
故\(a_n=(2n-1)2^{n+1}\).
变形法
(3)数列\(2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…\)中若每项减去\(1\)，则变成\(1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,…\)，
这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是\(n^2\)，
则原数列只需要在这基础上加回\(1\)便可，即\(a_n=n^2+1\).
(4)数列\(2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….\)中若每项加上\(1\)，
则变成\(3 ,33 ,333 ,3333 ,33333 ,…\)，
再每项乘以\(3\)，变成\(9 ,99 ,999 ,9999 ,99999 ,…\)
其中\(9=10-1\),\(99=10^2-1\)，\(999=10^3-1\)，\(9999=10^4-1\)，\(99999=10^5-1\)，
则其通项\(b_n=10^{n+1}-1\)，
要求原数列的通项公式，
则“逆回去”，除以\(3\)再减\(1\)可得 \(a_n=\dfrac{b_n}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-1}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-4}{3}\).
【巩固练习】
1.下列可作为数列\(1,2,1,2,1,2,…\)的通项公式的是( )
A． \(a_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(a_n=\dfrac{3+(-1)^n}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(a_n=2-\sin \dfrac{n \pi}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(a_n=2-\cos [(n-1) \pi]\)
2.写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1) \(7,14,21,28\)； \(\qquad \qquad\) (2) \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32}\)；
(3) \(\dfrac{5}{2}, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{14}{5}\)； \(\qquad \qquad\) (4) \(1 \dfrac{1}{2},-3 \dfrac{1}{4}, 5 \dfrac{1}{8},-7 \dfrac{1}{16}\)；
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意，数列\(1,2,1,2,1,2,…\)
其奇数项为\(1\)，可以看作 \(\dfrac{3+(-1)}{2}\)，偶数项为\(2\)，可以看作 \(\dfrac{3-(-1)}{2}\)；
其通项公式可以为： \(a_n=\dfrac{3+(-1)^n}{2}\)；
故选：\(B\)． -
答案 (1)\(a_n=7n\)；(2) \(a_n=\dfrac{2 n-1}{2^{n+1}}\) ；(3) \(a_n=\dfrac{3 n+2}{n+1}\)；(4) \(a_n=(-1)^{n+1}\left(2 n-1+\dfrac{1}{2^n}\right)\).
解析 (1)数列\(7,7×2,7×3,7×4\)，所以通项公式为\(a_n=7n\)．
(2)数列 \(\dfrac{2 \times 1-1}{2^2}, \dfrac{2 \times 2-1}{2^3}, \dfrac{2 \times 3-1}{2^4}, \dfrac{2 \times 4-1}{2^5}\)，所以数列通项公式为 \(a_n=\dfrac{2 n-1}{2^{n+1}}\)．
(3)数列 \(1 \dfrac{3 \times 1+2}{1+1}, \dfrac{3 \times 2+2}{2+1}, \dfrac{3 \times 3+2}{3+1}, \dfrac{3 \times 4+2}{4+1}\)，所以数列通项公式 \(a_n=\dfrac{3 n+2}{n+1}\)．
(4)数列 \((-1)^{1+1}\left[2 \times 1-1+\dfrac{1}{2}\right]\)， \((-1)^{2+1}\left[2 \times 2-1+\dfrac{1}{2^2}\right]\)， \((-1)^{3+1}\left[2 \times 3-1+\dfrac{1}{2^3}\right]\)， \((-1)^{4+1}\left[2 \times 4-1+\dfrac{1}{2^4}\right]\)，所以数列通项公式 \(a_n=(-1)^{n+1}\left(2 n-1+\dfrac{1}{2^n}\right)\)．
【题型3】 通项公式的应用
【典题1】 已知数列\(\{a_n \}\)的通项公式为\(a_n=3n^2-28n\).
(1)写出数列的第\(4\)项和第\(6\)项；
(2)\(-49\)是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
解析 (1)\(a_4=3×16－28×4=-64\)，\(a_6=3×36－28×6=-60\).
(2)设\(3n^2-28n=-49\)，解得\(n=7\)或 \(n=\dfrac{7}{3}\)(舍去)，
\(\therefore n=7\)，即\(-49\)是该数列的第\(7\)项．
设\(3n^2-28n=68\)，解得 \(n=\dfrac{34}{3}\)或\(n=-2\).
\(\because \dfrac{34}{3}∉N^*\)，\(－2∉N^*\)，\(\therefore 68\)不是该数列的项．
【巩固练习】
1.设数列 \(\sqrt{2}, \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{11}\)，则 \(2\sqrt{5}\)是这个数列的( )
A．第\(6\)项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．第\(7\)项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．第\(8\)项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．第\(9\)项
2.下列数列中，\(156\)是其中一项的是( )
A．\(\{n^2+1\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\{n^2-1\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\{n^2+n\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\{n^2+n-1\}\)
3.已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=5n-3\).
(1)求\(a_5\)；(2)判断\(27\)是否为数列\(\{a_n\}\)的一项．
4.已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\dfrac{3 n-2}{3 n+1}\)．
(1)求\(a_{10}\)．
(2)判断\(\dfrac{7}{10}\)是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．
(3)求证：\(0<a_n<1\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
-
答案 \(C\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，若数列为\(\{n^2+1\}\)，则有\(n^2+1=156\)，无正整数解，不符合题意；
对于\(B\)，若数列为\(\{n^2－1\}\)，则有\(n^2－1=156\)，无正整数解，不符合题意；
对于\(C\)，若数列为\(\{n^2+n\}\)，则有\(n^2+n=156\)，解可得\(n=12\)或\(－13\)(舍)，有正整数解\(n=12\)，符合题意，
对于\(D\)，若数列为\(\{n^2+n-1\}\)，则有\(n^2+n-1=156\)，无正整数解，不符合题意；
故选：\(C\)． -
答案 (1) \(22\)；(2) \(27\)是数列\(\{a_n\}\)的第\(6\)项．
解析 (1)\(a_5=5×5－3=22\)
(2)令\(5n－3=27\)，解得\(n=6\)，即\(27\)是数列\(\{a_n\}\)的第\(6\)项． -
答案 (1) \(\dfrac{28}{31}\)．(2) \(\dfrac{7}{10}\)为数列\(\{a_n\}\)中的项，为第\(3\)项．(3)略.
解析 (1)解：根据题意可得 \(a_{10}=\dfrac{3 \times 10-2}{3 \times 10+1}=\dfrac{28}{31}\)．
(2)解：令 \(a_n=\dfrac{7}{10}\)，即 \(\dfrac{3 n-2}{3 n+1}=\dfrac{7}{10}\)，解得\(n=3\)，
\(\therefore \dfrac{7}{10}\)为数列\(\{a_n\}\)中的项，为第\(3\)项．
(3)证明：由题知 \(a_n=\dfrac{3 n-2}{3 n+1}=1-\dfrac{3}{3 n+1}\)，
\(\because n∈N^*\)， \(\therefore 0<\dfrac{3}{3 n+1}<1\)，
\(\therefore 3n+1>3\)，即\(0<a_n<1\)．
【题型4】 数列与函数的关系
【典题1】 数列 \(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列还是减数列?
解析 方法1 作差法
\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{n+1}{n+3}-\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)}>0\)，所以 \(a_{n+1}>a_n\)，
故数列 \(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
方法2 作商法
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{n+3} \cdot \dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^2+3 n+2}{n^2+3 n}>1\)，
又\(\because a_n>0\)，所以 \(a_{n+1}>a_n\)，故数列 \(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
方法3 函数法
\(a_n=\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)，
\(\because f(x)=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{x}}\)在\((0,+∞)\)递增， \(\therefore a_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)也是随着\(n\)的增大而增大，
故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
点拨 求证数列单调性，常用方法有三：
① 作差法，比较\(a_{n+1}-a_n\)与\(0\)的大小；
② 作商法，比较\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)与\(1\)的大小，此时要注意\(a_n\)的正负性；
③ 视通项公式为函数解析 式，用讨论函数单调性的方法处理.
【典题2】 已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=－2n^2+λn(n∈N^*,λ∈R)\)，若\(\{a_n\}\)是递减数列，则\(λ\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(\because\)数列\(\{a_n\}\)是递减数列， \(\therefore a_n>a_{n+1}\)，
\(\therefore -2n^2+λn>-2(n+1)^2+λ(n+1)\)，解得\(λ<4n+2\)，
\(\because\) 数列\(\{4n+2\}\)单调递增，\(\therefore n=1\)时取得最小值\(6\)，
\(\therefore λ<6\)．
【典题3】 已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式是 \(a_n=(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\)，\(n∈N^*\)，则\(\{a_n\}\)中的最大项的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 方法1
\(a_{n+1}-a_n=(2 n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1}-(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\)\(=\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\left[\dfrac{9(2 n+3)}{10}-(2 n+1)\right]=\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10}\)，
令\(a_{n+1}-a_n≥0\)，即 \(\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10} \geq 0\)，可得\(n≤8.5\)．
令\(a_{n+1}-a_n≤0\)，即 \(\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10} \leq 0\)，可得\(n≥8.5\)．
即当\(n<9\)时，\(\{a_n\}\)递增；\(n≥9\)时，\(\{a_n\}\)递减.
\(\therefore \{a_n\}\)中的最大项的序号是\(9\)．
方法2 由 \(\left\{\begin{array}{l}
a_n \geq a_{n+1} \\
a_n \geq a_{n-1}
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \geq(2 n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1} \\
(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \geq(2 n-1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n-1}
\end{array}\right.\)，
解得 \(\dfrac{17}{2} \leq n \leq \dfrac{19}{2}\)，
又\(\because n∈N^*\)，\(\therefore n=9\)，
即\(\{a_n\}\)中的最大项的序号是\(9\)．
点拨 方法1利用函数的思路，求最大值先判断其单调性.
【巩固练习】
1.下列数列中，为递减数列的是( )
A．\(\{1+5^n \}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\{-n^2+6n\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\{3n+6\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\{1-\log_2 n\}\)
2.数列\(\{a_n\}\)的通项 \(a_n=\dfrac{n}{n^2+90}\)，则数列\(\{a_n\}\)中的最大值是( )
A． \(3 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(19\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{1}{19}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{\sqrt{10}}{60}\)
3.求数列\(\{-2n^2+29n+3\}\)中的最大项是\(\underline{\quad \quad}\)．
4.已知\(\{a_n\}\)满足\(a_n=(n-λ) 2^n (n∈N^*)\)，若\(\{a_n\}\)是递增数列，则实数\(λ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
5.设\(a_n=n^2-2kn+6(n∈N^*,k∈R)\)
(1)证明：\(k≤1\)是\(\{a_n\}\)为递增数列的充分不必要条件；
(2)若\(∀n∈N^*\), \(\dfrac{a_n}{n} \geq 1\)，求\(k\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，对于数列\(\{1+5^n \}\)，有\(a_1=1+5=6\),\(a_2=1+25=16\)，
不是递减数列，不符合题意；(或由函数\(f(x)=1+5^x\)是增函数排除)
对于\(B\)，对于数列\(\{-n^2+6n\}\)，有\(a_1=-1+6=5\),\(a_2=-4+12=8\)，
不是递减数列，不符合题意；(或由函数\(f(x)=-x^2+6x\)在\((0,3)\)上递增排除)
对于\(C\)，对于数列\(\{3n+6\}\)，有\(a_1=3+6=9\),\(a_2=6+6=12\)，
不是递减数列，不符合题意；(或由函数\(f(x)=3x+6\)是增函数排除)
对于\(D\)，对于数列\(\{1-\log_2 n\}\)，有\(a_{n+1}-a_n=1-\log_2(n+1)-(1-\log_2n)=\log _2 \dfrac{n}{n+1}\)，
当\(n≥1\)时，有\(a_{n+1}-a_n<0\)，数列\(\{1-\log_2n\}\)是递减数列，符合题意，
(或由函数\(f(x)=1-\log_2 x\)是减函数可知)
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 \(a_n=\dfrac{n}{n^2+90}=\dfrac{1}{n+\dfrac{90}{n}}\)，
\(\because f(n)=n+\dfrac{90}{n}\)在\((0,3\sqrt{10})\)上单调递减，在\((3\sqrt{10},+∞)\)上单调递增，
\(\therefore\)当\(n=9\)时，\(f(9)=9+10=19\)，当\(n=10\)时，\(f(10)=9+10=19\)，
即\(f(9)=f(10)\)为最小值，
此时\(a_n=\dfrac{n}{n^2+90}\)取得最大值为\(a_9=a_{10}=\dfrac{1}{19}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(108\)
解析 由已知，得\(a_n=-2 n^2+29 n+3=-2\left(n-\dfrac{29}{4}\right)^2+108 \dfrac{1}{8}\)
由于\(n∈N^*\)，故当\(n\)取距离\(\dfrac{29}{4}\)最近的正整数7时，\(a_n\)取得最大值\(108\).
故数列\(\{-2n^2+29n+3\}\)中的最大项为\(a_7=108\). -
答案 \((-∞,3)\)
解析 \(\because \{a_n\}\)是递增数列，\(\therefore a_{n+1}>a_n\)，
\(\therefore (n+1-λ) 2^{n+1}>(n-λ) 2^n\)，化为：\(λ<n+2\)，对\(∀n∈N^*\)都成立．
\(\therefore λ<3\)．
故答案为：\((-∞,3)\)． -
答案 (1) 略；(2) \(k≤2\).
解析 (1)证明：若\(\{a_n\}\)为递增数列，
则\(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-2k(n+1)+6-[n^2-2kn+6]=2n+1-2k>0\)，
解得 \(k<\dfrac{2 n+1}{2}\)， \(\therefore k<\dfrac{3}{2}\)．
\(\therefore k≤1\)是\(\{a_n\}\)为递增数列的充分不必要条件；
(2)解：\(∀n∈N^*\),\(\dfrac{a_n}{n} \geq 1\)，
\(\therefore n+\dfrac{6}{n}-2 k \geq 1\)，即 \(n+\dfrac{6}{n} \geq 2 k+1\)，
\(\because n+\dfrac{6}{n}≥5\)，\(\therefore 2k+1≤5\)，
\(\therefore k≤2\)．
\(\therefore k\)的取值范围是\(k≤2\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列有关数列的说法正确的是( )
①数列\(1,2,3\)可以表示成\(\{1,2,3\}\)；②数列\(-1,0,1\)与数列\(1,0,-1\)是同一数列；
③数列 \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是 \(\dfrac{1}{k-1}\)； ④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
2.在数列\(\{a_n\}\)中，已知\(a_n=\dfrac{n^2+n-1}{3}\),\(n∈N^*\)，则\(\dfrac{19}{3}\)是数列中的第( )项，
A．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(6\)
3.已知数列\(\{a_n\}\)中， \(a_n=\dfrac{n}{n+1}\)，则\(\{a_n\}\)是( )
A．常数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．递减数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．递增数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．摆动数列
4.数列\(\{a_n\}\)是递增数列，则\(\{a_n\}\)的通项公式可以是下面的( )
A． \(a_n=-\dfrac{1}{n}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(a_n=n^2-3n\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(a_n=2^{-n}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(a_n=(-n)^n\)
5.数列\(\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}\)( )
A．既无最大项，又无最小项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．既有最大项，又有最小项
6.数列\(\{a_n\}\)的通项公式是\(a_n=(n+2)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\)，那么在此数列中( )
A．\(a_7=a_8\)最大 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B ．\(a_8=a_9\)最大 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．有唯一项\(a_8\)最大 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．有唯一项\(a_7\)最大
7.数列\(1,3,7,15,31,…\)的一个通项公式为\(\underline{\quad \quad}\) .
8.数列\(\sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{13}, \sqrt{18}, \cdots, 7 \sqrt{2}\)是其第\(\underline{\quad \quad}\)项.
9.数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=－3n^2+2020n+1\)，当\(a_n\)取最大值时，\(n=\)\(\underline{\quad \quad}\).
10.已知数列\(\{a_n\}\)是递增数列，且对于任意\(n∈N^*\),\(a_n=n^2+2λn+1\)，则实数\(λ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
11.已知数列\(\{a_n\}\)，\(a_n=n^2-pn+q\)，且\(a_1=0\),\(a_2=-4\)．
(1)求\(a_5\)．
(2)判断\(150\)是不是该数列中的项？若是，是第几项？
12.在数列\(\{a_n\}\)中，已知 \(a_n=\dfrac{a n}{b n+1}\)，且 \(a_2=\dfrac{6}{5}\)，\(a_3=\dfrac{9}{7}\)．
(1)求通项公式\(a_n\)；(2)求证：\(\{a_n\}\)是递增数列；(3)求证： \(1 \leq a_n<\dfrac{3}{2}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 对于①，\(\{1,2,3\}\)是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列\(-1,0,1\)与数列\(1,0,-1\)是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是 \(\dfrac{1}{k-1}\)，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 根据题意，数列\(\{a_n\}\)中，已知 \(a_n=\dfrac{n^2+n-1}{3}\),
若 \(\dfrac{n^2+n-1}{3}=\dfrac{19}{3}\)，即\(n^2+n－1=19\)，解可得：\(n=4\)或\(－5\)(舍)；
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
-
答案 \(A\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)， \(a_n=-\dfrac{1}{n}\)，有 \(a_n-a_{n-1}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n(n-1)}\)，
又由\(n≥2\)，则\(a_n-a_(n-1)>0\)，数列\(\{a_n\}\)是递增数列，符合题意；
对于\(B\)，\(a_n=n^2-3n\),则\(a_1=1-3=-2\),\(a_2=4-6=-2\)，
数列\(\{a_n\}\)不是递增数列，不符合题意；
对于\(C\)，\(a_n=2^{-n}\)，有 \(a_1=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), \(a_2=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\)，
数列\(\{a_n\}\)不是递增数列，不符合题意；
对于\(D\)，\(a_n=(-n)^n\)，有\(a_2=(-2)^2=4\),\(a_3=(-3)^3=-27\) ，
数列\(\{a_n\}\)不是递增数列，不符合题意；
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 \(\because 2^{10}=1024\),\(2^{11}=2048\)，
\(\therefore\)根据指数函数的单调性知，\(\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}\)在\(1≤n≤10\)时为减数列且为负，
在\(n≥11\)时为减数列且为正，
\(\therefore\)数列\(\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}\)的最小项为第\(10\)项，最大项为\(11\)项．
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 \(a_n=(n+2)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\)， \(a_{n+1}=(n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1}\)，
所以 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+3}{n+2} \cdot \dfrac{9}{10}\)，
令 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1\)即 \(\dfrac{n+3}{n+2} \cdot \dfrac{9}{10} \geq 1\)，解得\(n≤7\)，
即\(n≤7\)时递增，\(n>7\)递减，
所以\(a_1<a_2<a_3<⋯<a_7=a_8>a_9>⋯\)
所以\(a_7=a_8\)最大．
故选：\(A\)． -
答案 \(a_n=2^n-1\)
-
答案 \(20\)
解析 根据题意，数列\(\sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{13}, \sqrt{18}, \cdots, 7 \sqrt{2}\)，
可写成 \(\sqrt{5-2}, \sqrt{5 \times 2-2}, \sqrt{5 \times 3-2}, \ldots \ldots, \sqrt{5 n-2}\)，
对于 \(7 \sqrt{2}\)，即 \(\sqrt{98}=\sqrt{5 \times 20-2}\)，为该数列的第\(20\)项. -
答案 \(337\)
解析 依题意，\(a_n=－3n^2+2020n+1\)，
表示抛物线\(f(n)=3n^2+2020n+1\)当\(n\)为正整数时对应的函数值，
又\(y=3n^2+2020n+1\)为开口向下的抛物线，
故到对称轴\(n=-\dfrac{2020}{2 \times(-3)}=\dfrac{1010}{3}\)距离越近的点，函数值越大，
故当\(n=337\)时，\(a_n=f(n)\)有最大值，
方法二 根据题意，\(a_{n-1}=-3(n-1)^2+2020(n-1)+1\)，
则\(a_n-a_{n-1}=-6n+2023\)，
当\(1≤n≤336\)时，\(a_n-a_{n-1}>0\)，即\(a_n>a_{n-1}\)，
当\(n≥337\)时，\(a_n-a_{n-1}<0\)，即\(a_n<a_{n-1}\)，
而\(a_{337}>a_{336}\)，
故数列\(\{a_n\}\)各项中最大项是第\(337\)项. -
答案 \(\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\)
解析 \(\because\)数列\(\{a_n\}\)是递增数列，\(\therefore\)对于任意\(n∈N^*\)，\(a_{n+1}>a_n\)，
\(\therefore (n+1)^2+2λ(n+1)+1>n^2+2λn+1\)，化为： \(\lambda>-\dfrac{2 n+1}{2}\)，
\(\because\)数列\(\left\{-\dfrac{2 n+1}{2}\right\}\)单调递减， \(\therefore \lambda>-\dfrac{3}{2}\)． -
答案 (1) \(-4\)；(2) \(150\)是该数列的第\(16\)项.
解析 (1)根据题意，数列\(\{a_n\}\)，\(a_n=n^2-pn+q\)，且\(a_1=0\),\(a_2=-4\)．
则有\(\left\{\begin{array}{l} 1-p+q=0 \\ 4-2 p+q=-4 \end{array}\right.\)，解可得\(\left\{\begin{array}{l} p=7 \\ q=6 \end{array}\right.\)，
则\(a_n=n^2-7n+6\)，
故\(a_5=25－35+6=-4\)，
(2)由(1)的结论，\(a_n=n^2-7n+6\)，
若\(a_n=n^2-7n+6=150\)，解可得：\(n=16\)或\(-9\)(舍)，
故\(n=16\)，
\(150\)是该数列的第\(16\)项． -
答案 (1) \(a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}\)；(2)略；(3)略.
解析 (1)解：由题意，可知 \(a_2=\dfrac{2 a}{2 b+1}=\dfrac{6}{5}\)， \(a_3=\dfrac{3 a}{3 b+1}=\dfrac{9}{7}\)，
整理联立方程组，得 \(\left\{\begin{array}{l} 5 a-6 b=3 \\ 7 a-9 b=3 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=3 \\ b=2 \end{array}\right.\)，
\(\therefore a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}\)．
(2)证明：由(1)，知 \(a_{n+1}=\dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}=\dfrac{3(n+1)}{2 n+3}\)，
则 \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{3(n+1)}{2 n+3}-\dfrac{3 n}{2 n+1}=\dfrac{3(n+1)(2 n+1)-3 n(2 n+3)}{(2 n+1)(2 n+3)}\)\(=\dfrac{3}{(2 n+1)(2 n+3)}>0\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n\}\)是递增数列．
(3)证明：由(2)，可知
当\(n=1\)时，数列\(\{a_n\}\)取得最小值\(a_1=1\)，
当\(n→+∞\)时， \(a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}=\dfrac{3}{2+\dfrac{1}{n}} \rightarrow \dfrac{3}{2}\)，
\(\therefore 1 \leq a_n<\dfrac{3}{2}\)，故得证．
【B组---提高题】
1.对于项数都为\(m\)的数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，记\(b_k\)为\(a_1,a_2,…,a_k\)\((k=1,2,…,m)\)中的最小值，给出下列命题：
①若数列\(\{b_n\}\)的前\(5\)项依次为\(5,5,3,3,1\)，则\(a_4=3\)；
②若数列\(\{b_n\}\)是递减数列，则数列\(\{a_n\}\)也是递减数列；
③数列\(\{b_n\}\)可能是先递减后递增的数列；
④若数列\(\{a_n\}\)是递增数列，则数列\(\{b_n\}\)是常数列．
其中，是真命题的为( )
A．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
2.数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2 n-4}-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-2}\)，则数列\(\{a_n\}\) ( )
A．有最大项，无最小项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．有最小项，无最大项
C．既有最大项又有最小项 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．既无最大项又无最小项
3.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}\)．
(1)数列\(\{a_n\}\)是递增数列还是递减数列？为什么？
(2)证明：\(a_n \geq \dfrac{1}{2}\)对一切正整数恒成立．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 ①由数列\(\{b_n\}\)的前\(5\)项依次为\(5,5,3,3,1\)，
可知\(a_1=5\)，\(a_2≥5\)，\(a_3=3\)，\(a_4≥3\)，\(\therefore\)①错误；
②若数列\(\{b_n\}\)是递减数列，则数列\(\{a_n\}\)也是递减数列是正确的；
若数列\(\{a_n\}\)是递增数列或常数列时，则\(\{b_n\}\)是常数列，
若数列\(\{a_n\}\)是递减数列时，则\(\{b_n\}\)是递减的，
\(\therefore\)③是错误的；④是正确的．
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 由已知，设 \(t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-2}\)，
则 \(a_n=t^2-t=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)，\((0<t \leq \dfrac{5}{4}\)且随着\(n\)的增大，\(t\)的值一直在减小\()\)，
画出其图象如下：
图象开口向上，且对称轴为 \(t=\dfrac{1}{2}\)，据图可知，
当\(n=1\)，即\(t=\dfrac{5}{4}\)时，\(a_n\)取得最大值\(a_1\)，又当\(n=5\)时 \(t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^3>\dfrac{1}{2}\)，
当\(n=6\)时 \(t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4<\dfrac{1}{2}\)，且\(n=5\)时，\(t\)的值更接近\(\dfrac{1}{2}\)，
所以当\(n=5\)时，\(a_n\)的值最小．
故选：\(C\)． -
答案 (1)略；(2)略.
解析 (1) \(\because a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}\)，
\(\therefore a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)+1}+\dfrac{1}{(n+1)+2}+\dfrac{1}{(n+1)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2(n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\dfrac{1}{n+4}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}+\dfrac{1}{2 n+1}+\dfrac{1}{2 n+2}\)，
\(\therefore a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{2 n+1}+\dfrac{1}{2 n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{2 n+1}-\dfrac{1}{2(n+1)}\)，
又\(n∈N^*\)，\(\therefore 2n+1<2(n+1)\)，\(\therefore a_{n+1}-a_n>0\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n\}\)是递增数列．
(2)由(1)知数列\(\{a_n\}\)为递增数列，
所以数列\(\{a_n\}\)的最小项是 \(a_1=\dfrac{1}{2}\)，
所以即 \(a_n \geq \dfrac{1}{2}\)对一切正整数恒成立．
【C组---拓展题】
1.数列\(\{a_n\}\)为从\(a_0\)开始的非负整数有限数列，\(a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．那么数列的项数不可能是( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(7\)
2.(多选)对于数列\(\{a_n\}\)，定义： \(b_n=a_n-\dfrac{1}{a_n}\left(n \in N^*\right)\)，称数列\(\{b_n\}\)是\(\{a_n\}\)的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )
A．若数列\(\{a_n\}\)单调递增，则数列\(\{b_n\}\)单调递增
B．若数列\(\{b_n\}\)是常数列，数列\(\{a_n\}\)不是常数列，则数列\(\{a_n\}\)是周期数列
C．若 \(a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\)，则数列\(\{b_n\}\)没有最小值
D．若 \(a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\)，则数列\(\{b_n\}\)有最大值
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(\because a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．
\(\therefore a_0≠0\)，且\(a_0≠n\)，且\(a_0≠n+1\)，
若\(a_1=1\)，则当\(i≠1\)时，\(a_i≠1\)，\(a_n=0\)，
用排除法解答此题；
当\(a_0=2\)，\(a_1=0\),\(a_2=2\),\(a_3=0\)时，满足条件，此时数列有\(4\)项，故排除\(A\)答案；
当\(a_0=2\),\(a_1=1\),\(a_2=2\),\(a_3=0\),\(a_4=0\)时，满足条件，此时数列有\(5\)项，故排除\(B\)答案；
当\(a_0=3\),\(a_1=2\),\(a_2=1\),\(a_3=1\),\(a_4 =0\),\(a_5=0\),\(a_6=0\)时，满足条件，此时数列有\(7\)项，故排除\(D\)答案；
故选：\(C\)． -
答案 \(BD\)
解析 对于\(A\)：函数 \(f(x)=x-\dfrac{1}{x}\)在\((-∞,0)\)和\((0,+∞)\)上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，
可知数列\(\{a_n\}\)单调递增，则数列\(\{b_n\}\)不是单调递增，
例如： \(a_n=n-\dfrac{5}{2}\)，则 \(b_2=-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}\)， \(b_3=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}\)，故\(A\)错误；
对于\(B\)：数列\(\{b_n\}\)是常数列，可设\(b_n=a_n-\dfrac{1}{a_n}=t\)，则 \(a_{n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}=t\)，
\(\therefore a_{n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}-a_n-\dfrac{1}{a_n}=\left(a_{n+1}-a_n\right)\left(1+\dfrac{1}{a_n a_{n+1}}\right)=0\)，
\(\because\) 数列\(\{a_n\}\)不是常数列，
\(\therefore a_{n+1}－a_n≠0\)，
\(\therefore 1+\dfrac{1}{a_n a_{n+1}}=0\)，整理可得 \(a_{n+1}=-\dfrac{1}{a_n}\)，
\(\therefore a_{n+2}=-\dfrac{1}{a_{n+1}}=a_n\)，
\(\therefore\) 数列\(\{a_n\}\)是以\(2\)为周期的周期数列，故\(B\)正确；
对于\(CD\)，若 \(a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\)，则\(b_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n-\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}\)，
①当\(n\)为偶数时， \(a_n=1-\dfrac{1}{2^n} \in(0,1)\)且\(\{a_n\}\)单调递增，
\(\therefore \dfrac{1}{a_n}>1>a_n\)，
\(\therefore b_n<0\)，且数列\(\{b_n\}\)单调递增，
此时\(\left(b_n\right)_{\min }=b_2=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{7}{12}\)，
①当\(n\)为奇数时， \(a_n=1+\dfrac{1}{2^n}>1\)且\(\{a_n\}\)单调递减，
\(\therefore a_n>1>\dfrac{1}{a_n}\) ，
\(\therefore b_n>0\)，且数列\(\{b_n\}\)单调递减，
此时\(\left(b_n\right)_{\max }=b_1=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}\)，
综上所述列\(\{b_n\}\)既有最大值\(\dfrac{5}{6}\)，也有最小值\(-\dfrac{7}{12}\)，
故\(C\)错误，\(D\)正确．
故选：\(BD\)．