前言
在全连接层构成的多层感知机网络中，我们要通过将图像数据展平成一维向量来送入模型，但这会忽略了每个图像的空间结构信息。理想的策略应该是要利用相近像素之间的相互关联性，将图像数据二维矩阵送给模型中学习。
卷积神经网络(convolutional neural network，CNN)正是一类强大的、专为处理图像数据（多维矩阵）而设计的神经网络，CNN 的设计是深度学习中的一个里程碑式的技术。在 Transformer 应用到 CV 领域之前，基于卷积神经网络架构的模型在计算机视觉领域中占主导地位，几乎所有的图像识别、目标检测、语义分割、3D目标检测、视频理解等任务都是以 CNN 方法为基础。
卷积神经网络核心网络层是卷积层，其使用了卷积(convolution)这种数学运算，卷积是一种特殊的线性运算。另外，通常来说，卷积神经网络中用到的卷积运算和其他领域(例如工程领域以及纯数学领域)中的定义并不完全一致。
一，卷积
在理解卷积层之前，我们首先得理解什么是卷积操作。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。
operation 视语境有时译作“操作”，有时译作“运算”，本文不做区分。
1.1，卷积运算定义
为了给出卷积的定义， 这里从现实世界会用到函数的例子出发。
假设我们正在用激光传感器追踪一艘宇宙飞船的位置。我们的激光传感器给出 一个单独的输出 \(x(t)\)，表示宇宙飞船在时刻 \(t\) 的位置。\(x\) 和 \(t\) 都是实值的，这意味着我们可以在任意时刻从传感器中读出飞船的位置。
现在假设我们的传感器受到一定程度的噪声干扰。为了得到飞船位置的低噪声估计，我们对得到的测量结果进行平均。显然，时间上越近的测量结果越相关，所 以我们采用一种加权平均的方法，对于最近的测量结果赋予更高的权重。我们可以采用一个加权函数 \(w(a)\) 来实现，其中 \(a\) 表示测量结果距当前时刻的时间间隔。如果我们对任意时刻都采用这种加权平均的操作，就得到了一个新的对于飞船位置的平滑估计函数 \(s\) :
\[s(t) = \int x(a)w(t-a )da \]这种运算就叫做卷积（convolution）。更一般的，卷积运算的数学公式定义如下：
以上卷积计算公式可以这样理解:
- 先对函数 \(g(t)\) 进行反转（
reverse），相当于在数轴上把 \(g(t)\) 函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。 - 然后再把 \(g(t)\) 函数向左平移 \(x\) 个单位，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。
1.2，卷积的意义
对卷积这个名词，可以这样理解：所谓两个函数的卷积（\(f*g\)），本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。
因此，卷积运算整体来看就是这么一个过程:
翻转—>滑动—>叠加—>滑动—>叠加—>滑动—>叠加.....
多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。
这里多次滑动过程对应的是 \(t\) 的变化过程。
那么，卷积的意义是什么呢？可以从卷积的典型应用场景-图像处理来理解：
- 为什么要进行“卷”？进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。
- 在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。因此，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数进行时间（信号分析）或空间（图像处理）上进行混合。
卷积意义的理解来自知乎问答，有所删减和优化。
1.3，从实例理解卷积
一维卷积的实例有 “丢骰子” 等经典实例，这里不做展开描述，本文从二维卷积用于图像处理的实例来理解。
一般，数字图像可以表示为如下所示矩阵：
本节图片摘自知乎用户马同学的文章。
而卷积核 \(g\) 也可以用一个矩阵来表示，如:
\[g = \begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1} \\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix} \]按照卷积公式的定义，则目标图片的第 \((u, v)\) 个像素的二维卷积值为：
\[(f * g)(u, v)=\sum_{i} \sum_{j} f(i, j)g(u-i, v-j)=\sum_{i} \sum_{j} a_{i,j} b_{u-i,v-j} \]展开来分析二维卷积计算过程就是，首先得到原始图像矩阵中 \((u, v)\) 处的矩阵：
\[f=\begin{bmatrix} &a_{u-1,v-1} &a_{u-1,v} &a_{u-1,v+1}\\ &a_{u,v-1} &a_{u,v} &a_{u,v+1} \\ &a_{u+1,v-1} &a_{u+1,v} &a_{u+1,v+1} \end{bmatrix} \]然后将图像处理矩阵翻转（两种方法，结果等效），如先沿 \(x\) 轴翻转，再沿 \(y\) 轴翻转（相当于将矩阵 \(g\) 旋转 180 度）：
\[\begin{aligned} g &= \begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix} => \begin{bmatrix} &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix} = g^{'} \end{aligned} \]最后，计算卷积时，就可以用 \(f\) 和 \(g′\) 的内积：
\[\begin{aligned} f * g(u,v) &= a_{u-1,v-1} \times b_{1,1} + a_{u-1,v} \times b_{1,0} + a_{u-1,v+1} \times b_{1,-1} \\ &+ a_{u,v-1} \times b_{0,1} + a_{u,v} \times b_{0,0} + a_{u,v+1} \times b_{0,-1} \\ &+ a_{u+1,v-1} \times b_{-1,1} + a_{u+1,v} \times b_{-1,0} + a_{u+1,v+1} \times b_{-1,-1} \end{aligned} \]计算过程可视化如下动图所示，注意动图给出的是 \(g\) 不是 \(g'\)。
以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量 \(a, b\) 的下标之和都是 \((u,v)\)，其目的是对这种加权求和进行一种约束，这也是要将矩阵 \(g\) 进行翻转的原因。上述计算比较麻烦，实际计算的时候，都是用翻转以后的矩阵，直接求矩阵内积就可以了。
1.4，图像卷积（二维卷积）
在机器学习和图像处理领域，卷积的主要功能是在一个图像(或某种特征) 上滑动一个卷积核(即滤波器)，通过卷积操作得到一组新的特征。一幅图像在经过卷积操作后得到结果称为特征映射(Feature Map)。如果把图像矩阵简写为 \(I\)，把卷积核 Kernal 简写为 \(K\)，则目标图片的第 \((i,j)\) 个像素的卷积值为：
可以看出，这和一维情况下的卷积公式 2 是一致的。因为卷积的可交换性，我们也可以把公式 3 等价地写作：
\[h(i,j) = (I*K)(i,j)=\sum_m \sum_n I(i-m,j-n)K(m,n) \tag{4} \]通常，下面的公式在机器学习库中实现更为简单，因为 \(m\) 和 \(n\) 的有效取值范围相对较小。
卷积运算可交换性的出现是因为我们将核相对输入进行了翻转（flip），从 \(m\) 增 大的角度来看，输入的索引在增大，但是卷积核的索引在减小。我们将卷积核翻转的唯一目 的是实现可交换性。尽管可交换性在证明时很有用，但在神经网络的应用中却不是一个重要的性质。相反，许多神经网络库会实现一个互相关函数（corresponding function），它与卷积相同但没有翻转核：
公式（5）和公式 (6) 对比可知，互相关和卷积的区别仅仅在于卷积核是否进行翻转。因此互相关也可以称为不翻转卷积。
互相关(
Cross-Correlation)是一个衡量两个序列相关性的函数，通常是用滑动窗口的点积计算来实现。
1.5，互相关和卷积
互相关和卷积运算的关系，可以通过下述公式理解：
\[\begin{aligned} Y &= W\otimes X \\ &= \text{rot180}(W) * X \end{aligned} \]其中 \(\otimes\) 表示互相关运算，\(*\) 表示卷积运算，\(\text{rot180(⋅)}\) 表示旋转 180 度，\(Y\) 为输出矩阵。离散卷积可以看作矩阵的乘法，然而，这个矩阵的一些元素被限制为必须和另外 一些元素相等。
在神经网络中使用卷积是为了进行特征抽取，卷积核是否进行翻转和其特征抽取的能力无关。特别是当卷积核是可学习的参数时，因此卷积和互相关在能力上是等价的。因此，神经网络实现上一般会以互相关操作来代替卷积，从而会减少一些不必要的操作或开销（不反转 Kernal）。
因此，
- 我们实现的卷积操作不是原始数学含义的卷积，而是工程上的卷积，但一般也简称为卷积。
- 在实现卷积操作时，并不会反转卷积核。
二，卷积层
在传统图像处理中，线性空间滤波的原理实质上是指指图像 \(f\) 与滤波器核 \(w\) 进行乘积之和（卷积）运算。核是一个矩阵，其大小定义了运算的邻域，其系数决定了该滤波器（也称模板、窗口滤波器）的性质，并通过设计不同核系数（卷积核）来实现低通滤波（平滑）和高通滤波（锐化）功能，因此我们可以认为卷积是利用某些设计好的参数组合（卷积核）去提取图像空域上相邻的信息。
2.1，卷积层定义
在全连接前馈神经网络中，如果第 \(l\) 层有 \(M_l\) 个神经元，第 \(l-1\) 层有 \(M_{l-1}\) 个 神经元，连接边有 \(M_{l}\times M_{l-1}\) 个，也就是权重矩阵有 \(M_{l}\times M_{l-1}\) 个参数。当 \(M_l\) 和 \(M_{l-1}\) 都很大时，权重矩阵的参数就会非常多，训练的效率也会非常低。
如果采用卷积来代替全连接，第 \(l\) 层的净输入 \(z^{(l)}\) 为第 \(l-1\) 层激活值 \(a^{(l−1)}\) 和卷积核 \(w^{(l)}\in \mathbb{R}^K\) 的卷积，即
\[z^{(l)} = w^{(l)}\otimes a^{(l−1)} + b^{(l)} \]其中 \(b^{(l)}\in \mathbb{R}\) 为可学习的偏置。
上述卷积层公式也可以写成这样的形式：\(Z = W*A+b \tag{0}\)
根据卷积层的定义，卷积层有两个很重要的性质: