LC 2447. Number of Subarrays With GCD Equal to K

2447. Number of Subarrays With GCD Equal to K

思路与题解

最大公约数，Euclidean algorithms算法证明：

如果我们有2个数： \(a\) 和 \(b\)，不妨假设 \(a > b\)，当不能整除的情况下，设 \(a = b \times k + c\)，其中 \(c < b\)。

通过证明可以得到：\(\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \; \text{mod} \; b)\)。

证明Step 1：\(a\) 与 \(b\) 的公约数也是 \(a \; \text{mod} \; b\) 的公约数。可以设 \(d | a\) 与 \(d | b\)（\(a=m \times d\)，\(d\) 为整数）。显然 \(c = a - b \times k\)，可得：\(\frac{c}{d} = \frac{a}{d} - \frac{b}{d} \times k\)，\(\frac{a}{d}\) 是整数，\(\frac{b}{d} \times k\) 也是整数，因此 \(\frac{c}{d}\) 也是整数。因此 \(d|c\) 得证，即是 \((c = a \; \text{mod} \; b) | d\) ，正向成立。

证明Step 2：\(b\) 与 \(a \; \text{mod} \; b\) 的公约数也是 \(a\) 的公约数。可以设 \(d | b\) 与 \(d | c\)。可得：\(\frac{a}{d} = \frac{c}{d} - \frac{b}{d} \times k\)，其中等式右边同样都是整数，因此 \(\frac{a}{d}\) 也是整数，因此得证。

由于 \(\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \; \text{mod} \; b)\)，自然最大公约数也是相同的。

使用Euclidean algorithms算法计算最大公约数：

public int gcd(int a , int b){
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b , a % b);
}

解法1：暴力法，枚举每一个subarray，计算最大公约数，TLE。

def subarrayGCD(self, nums, k):
    if len(nums) == 1:
        if nums[0] != k:
            return 0
        else:
            return 1

    count = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)+1):
            gcd = math.gcd(*nums[i:j])

            if gcd == k:
                count += 1

    return count

解法2：暴力扫描法。时间复杂度 \(O(n^2)\)。基本思路：维护 nums[i] 与 nums[j] 的gcd，看是不是后面的 j 对应元素的 gcd，如果不是，只会更小就早停；如果是，那是不是和 k 相等，相等就+1。双指针法应该也可以。

public int subarrayGCD(int[] nums, int k) {
    if (nums.length == 1) {
        if (nums[0] == k) return 1;
        else return 0;
    }

    // 暴力扫描法，计算subarray gcd
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        int currGCD = 0;
        for (int j = i; j < nums.length; j++) {
            currGCD = gcd(nums[j], currGCD);

            if (currGCD == k) count++;
            else if (currGCD < k) break;
        }
    }

    return count;
}

References

[1] OI wiki: 最大公约数

[2] O(N*log(max(nums))) with Explanation | Similar Question