CodeForces 1762D GCD Queries

Preface

比较神仙的交互题，居然自己胡出来了。

不是很建议拿到题直接往题解区冲，这种题做一道少一道。

Solution

下面简称 \(\gcd(p_i,p_j)\) 为 \(\text{zyf}(i,j)\)。

这个限制看起来就像每两步询问就可以检验一个数是否为 \(0\)，或者直接判断其不为 \(0\)。但是直接下手有些困难，我们显然需要找到一些性质。

考虑到对于一个排列中元素都不相同，根据这个性质，如果 \(p_i=0\)，那么一定满足 \(\text{zyf}(i,j)\not =\text{zyf}(i,k)\)，反过来 \(p_i\not =0\) 的充分条件是 \(\text{zyf}(i,j) = \text{zyf}(i,k)\)。

这一条看起来很有用，但是过于狭隘，不一定存在 \(\text{zyf}(i,j)=\text{zyf}(i,k)\)，而这又不是必要条件。考虑到这种情况已经需要询问 \(2\) 次，我们不妨继续在 \(\text{zyf}(i,j)\) 和 \(\text{zyf}(i,k)\) 的大小关系上做文章。

于是考虑 \(\text{zyf}(i,j)\not =\text{zyf}(i,k)\)，此时发现没法判定 \(p_i\)，但是当 \(p_i=0\) 的时候肯定 \(j,k\) 都不为 \(0\)，如果 \(p_i \not = 0\) 的时候就说明 \(\text{zyf}(i,j)\) 和 \(\text{zyf}(i,k)\) 是 \(p_i\) 的两个不同的因数。

不妨设 \(\text{zyf}(i,j)<\text{zyf}(i,k)\)，那么即使最劣情况下 \(\text{zyf}(i,k)=p_i\)，无法判定 \(p_k\)，也可以判定 \(p_j\)，因为 \(\gcd(p_j,p_i)\not= p_i\not=\gcd(p_i,0)\)，所以 \(p_j\not=0\)。

在以上观察之后我们发现，任意的询问 \(\text{zyf}(a,b)\) 和 \(\text{zyf}(a,c)\) 都可以对满足 \(x\in\{a,b,c\}\) 的 \(x\) 进行判定其 \(p_x\not=0\)。于是我们发现只需要判定 \(n-2\) 次就一定可以得到可能为 \(0\) 的两个元素。

Implementation

啊啊啊，\(\mathcal O(n)\) 实现这玩意写挂了，所以我写了一个堆。毕竟交互题比较传统题更难调试一些。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solve();
signed main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); return 0; }
int _gcd(int x, int y) { 
    cout << "? " << x << " " << y << endl;
    int r; cin >> r; return r;
}
int TESTIFY(int i, int j, int k) {
    int A = _gcd(i, k), B = _gcd(j, k);
    if(A == B) return k;
    if(A < B) return i;
    return j;
}
int solve() {
    int n;
    cin >> n;
    if(n == 2) {
        puts("! 1 2"); int x; cin >> x;
        return 0;
    }
    priority_queue<int> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) q.push(i);
    while(q.size() != 2) {
        int x = q.top(); q.pop();
        int y = q.top(); q.pop();
        int z = q.top(); q.pop();
        int w = TESTIFY(x, y, z);
        if(x != w) q.push(x);
        if(y != w) q.push(y);
        if(z != w) q.push(z);
    }
    cout << "! " << q.top() << ' ';
    q.pop();
    cout << q.top() << endl;
    int x; cin >> x;
    if(x == -1) return puts("WA");
    //This line will be never executed.
    return 0;
}

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。