实数完备性

实数完备性由六个等价的命题阐述。它们分别是：确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理以及柯西收敛准则。证明它们等价的方法如下图：

这样，我们就可以证明这六个命题是相互等价的。

区间套定理

首先，定义区间套

定义7.1

若一串由自然数 \(n\) 确定的区间 \([a_n,b_n]\) 满足

\[\begin{aligned} &(i)\quad [a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]\\ &(ii)\ \ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0 \end{aligned} \]

则称区间列 \(\{[a_n,b_n]\}\) 为区间套。

有了区间套的定义，我们可以给出区间套定理

定理7.1

有且仅有一个实数 \(\xi\) 使得对于任意的 \(n\) 都有 \(\xi\in[a_n,b_n]\) .

现在，我们用单调有界定理证明它

证明：由定义知 \(a_n\) 是单调减数列，而 \(b_n\) 是单调增数列，且 \(a_n,b_n\) 都为有界数列，故 \(a_n,b_n\) 均收敛，分别记这两个数列的极限为 \(A,B\) . 由 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\) 可以得到 \(A=B\) . 易见结论成立。 \(\Box\)

有限覆盖定理

同样地，我们先定义开覆盖的概念

定义7.2

设 \(S\) 为实数集合，\(H\) 为实数开区间的集合。若 \(H\) 是一个无穷（有限）集合，且满足 \(S\) 中的任意元素都为 \(H\) 中某一区间的元素，则称 \(H\) 为 \(S\) 的一个无限（有限）开覆盖。

然后我们给出有限覆盖定理

定理7.2

设 \(H\) 是闭区间 \([a,b]\) 的一个开覆盖，则一定存在一个关于闭区间的有限开覆盖 \(M\subset H\) .

用区间套定理证明它

证明：不妨设 \(H\) 为一个无限开覆盖。假设不存在这样的有限开覆盖。将闭区间 \([a,b]\) 分为\([a,\frac{a+b}{2}]\) 和 \([\frac{a+b}{2},b]\) ，则至少有一个区间也不存在有限开覆盖。依此方法一直取这样的闭区间，则可以得到一个闭区间套。由区间套定理，这个闭区间套确定了唯一的实数 \(\xi\) ，显然 \(\xi\in[a,b]\) . 由定义，存在一个开区间 \((\alpha,\beta)\in H\) 使得 \(\xi\in(\alpha,\beta)\) . 取 \(\varepsilon=\min\{\xi-\alpha,\beta-\xi\}\) ，则当我们取的区间套长度小于 \(\varepsilon\) 时易见 \(\{(\alpha,\beta)\}\) 就是所取闭区间的一个有限开覆盖，这与我们的假设矛盾。 \(\Box\)

聚点定理

首先给出实数集上聚点的概念

定义7.3

设 \(S\) 是实数集，\(\xi\) 为实数，若对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，都有 \(x\in S\) 使得 \(0<|x-\xi|<\varepsilon\) ，则称 \(\xi\) 为集合 \(S\) 的聚点。

接着给出聚点定理

定理7.3

任意有界无限实数集都有聚点。

用有限覆盖定理证明它

证明：反证法。假设对于有界无限实数集 \(S\) 没有聚点，即对任意 \(\xi\in\mathbb{R}\) ，都存在相应的 \(\varepsilon(\xi)>0\) 使得所有 \(x\in S\) 都有 \(|x-\xi|=0\) 或 \(|x-\xi|\ge\varepsilon(\xi)\) . 设 \(S\subset[a,b]\) ，取集合 \(H=\{U(x,\varepsilon(x))|x\in[a,b]\}\) ，可以知道集合 \(H\) 是 $[a,b] $ 的一个无限开覆盖。根据有限覆盖定理知存在一个关于 \([a,b]\) 的有限开覆盖 \(H_0\subset H\) . 由于 \(S\subset[a,b]\) ，故 \(H_0\) 也是 \(S\) 的一个有限开覆盖。又由 \(S\) 是一个无限集，得出存在一个 \((\alpha,\beta)\in H_0\) 使得有无限个 \(S\) 中的元素属于集合 \((\alpha,\beta)\) ，这与假设发生了矛盾。 \(\Box\)

柯西收敛准则

柯西收敛准则是一个关于数列是否收敛的定理

定理7.4

数列 \(a_n\) 收敛的充要条件是：若对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，都存在 \(N>0\) ，使得 \(n,m>N\) 时有 \(|a_n-a_m|<\varepsilon\) .

现在用聚点定理证明它

证明：先证明必要性。记数列 \(a_n\) 收敛于 \(A\) ，对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，都存在 \(N>0\) 使得对于任意的 \(n>N\) 有 \(|a_n-A|<\varepsilon\) ，即 \(A-\varepsilon<a_n<A+\varepsilon\) . 则当 \(n,m>N\) 时，有 \(|a_n-a_m|<2\varepsilon\) . 由 \(\varepsilon\) 的任意性得结论成立。然后证明充分性。若由数列 \(a_n\) 中所有项构成的集合 \(\{a_n\}\) 为有限集合的话，则一定有无限相等的项，设这无限项的值为 \(A\) ，显然 \(A\) 是唯一的。由条件，对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，都有 \(N>0\) 使得 \(n>N\) 时 \(|a_n-A|<\varepsilon\) ，得证。若集合 \(\{a_n\}\) 为无限集，由聚点定理知存在一个聚点 \(A\) 使得对于任意的 \(\varepsilon>0\) 都有 $n\in\mathbb{N} $ 使得 \(|a_n-A|<\varepsilon\) . 对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，聚点的 \(\varepsilon\) 领域内都有无穷个集合 \(\{a_n\}\) 中的元素。又由条件知对于任意的 \(\varepsilon>0\) 都存在 \(N>0\) 使得任意 \(m,n>N\) 都有 \(|a_n-a_m|<\varepsilon\) . 这样就有 \(|a_n-a_m|<2\varepsilon\) ，由 \(\varepsilon\) 的任意性知结论成立。 \(\Box\)

确界原理

现在用柯西收敛准则来证明确界原理

证明：只需证明无穷实数集有上界的情况。设集合 \(S\) 是一个无穷实数集，实数 \(\xi\) 是集合 \(S\) 的一个上界，\(x\in S\) ，令 \(k=\xi-x\) . 则取数列

\[a_n=x+\frac{m_nk}{2^n} \]

其中 \(m_n\) 是使 \(a_n\) 为集合 \(S\) 的上界的最小的自然数。由阿基米德性可以保证 \(m_n\) 的存在性。易证数列 \(2^{-n}\) 收敛于 \(0\) . 所以任取 \(\varepsilon>0\) ，都有 \(N>0\) 使得 \(2^{-N}<\varepsilon\) .

此时对于任意的 \(n,m>N\) 都有 \(|a_n-a_m|<2^{-N}<\varepsilon\) . 由柯西收敛准则知 \(a_n\) 收敛。设 \(a_n\) 的极限为 \(A\) 。若存在 \(y\in S\) 使得 \(y>A\) ，则取 \(\varepsilon=y-A\) ，得到存在 \(a_n\) 不是 \(S\) 的上界，这与 \(a_n\) 的定义矛盾。若对于一个 \(\varepsilon>0\) 有 \(A-\varepsilon\) 仍是上界，注意到 \(a_n\) 为递减数列，对于 \(k\cdot 2^{-n}<\varepsilon\) 时有 \(a_n<A\) ，这也是不可能的。因此 \(A\) 为 \(S\) 的上确界。 \(\Box\)

由上文的证明以及此前笔记中由确界原理推出单调有界定理的论证可以得到：关于实数完备性的六个定理是等价的

定理7.5

确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理以及柯西收敛准则等价。