Count Increasing Quadruplets

Given a 0-indexed integer array nums of size $n$ containing all numbers from $1$ to $n$, return the number of increasing quadruplets.

A quadruplet (i, j, k, l) is increasing if:

• $0 \leq i < j < k < l < n$, and
• $\text{nums}[i] < \text{nums}[k] < \text{nums}[j] < \text{nums}[l]$.

Example 1:

Input: nums = [1,3,2,4,5]
Output: 2
Explanation: 
- When i = 0, j = 1, k = 2, and l = 3, nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l].
- When i = 0, j = 1, k = 2, and l = 4, nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l]. 
There are no other quadruplets, so we return 2.

Example 2:

Input: nums = [1,2,3,4]
Output: 0
Explanation: There exists only one quadruplet with i = 0, j = 1, k = 2, l = 3, but since nums[j] < nums[k], we return 0.

Constraints:

• $4 \leq \text{nums.length} \leq 4000$
• $1 \leq \text{nums}[i] \leq \text{nums.length}$
• All the integers of nums are unique. nums is a permutation.

解题思路

　　一开始看错题了以为是求$\text{nums}[i] < \text{nums}[j] < \text{nums}[k] < \text{nums}[l]$，这个直接用树状数组就可以实现了，参考三元组。

　　然后想了一下不会是枚举$j$和$k$吧，结果正解就是这样做，但自己没想出来。

　　暴力枚举$j$和$k$，在满足$\text{nums}[k] < \text{nums}[j]$的前提下，找到所有小于$j$的$i$且满足$\text{nums}[i] < \text{nums}[k]$，和找到所有大于$k$的$l$且满足$\text{nums}[j] < \text{nums}[l]$，参考下面的示意图：

　　因此为了在枚举$j$和$k$的时候能够快速统计出来满足$i < j$且$\text{nums}[i] < \text{nums}[k]$的$i$的数量，和满足$l > k$且$\text{nums}[l] > \text{nums}[j]$的$l$的数量，这里可以先开个数组$g[x][v]$表示下标为$x$且$\text{nums}[x] = v$的数量，然后对$g$求二维前缀和，然后根据乘法原理将两部分的元素数目相乘得到答案。

　　然而前缀和数组$s[i][j]$只能得到下标小于等于$i$且值小于等于$j$的元素数量，那么如何根据$s$来求得下标大于$i$且值大于$j$的元素数量呢？也就是下图的部分：

　　很简单，只要根据$s$的定义减去白色的部分就行了，具体公式为 $\text{ans} = s_{n,n} - s_{i,n} - s_{n,j} + s_{i,j}$。

　　AC代码如下，时间复杂度为$O(n^2)$：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
 4         int n = nums.size();
 5         vector<vector<int>> s(n + 1, vector<int>(n + 1));
 6         for (int i = 1; i <= n; i++) {
 7             s[i][nums[i - 1]]++;    // 统计数量
 8         }
 9         for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 求前缀和
10             for (int j = 1; j <= n; j++) {
11                 s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
12             }
13         }
14         long long ret = 0;
15         for (int i = 1; i <= n; i++) {
16             for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
17                 if (nums[i - 1] > nums[j - 1]) {
18                     ret += 1ll * s[i - 1][nums[j - 1] - 1] * (s[n][n] - s[j][n] - s[n][nums[i - 1]] + s[j][nums[i - 1]]);   // 两部分相乘
19                 }
20             }
21         }
22         return ret;
23     }
24 };

参考资料

　　转化思路 前后缀分解【力扣周赛 330】：https://www.bilibili.com/video/BV1mD4y1E7QK/