先说结论：
\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)
此时先手必败
\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\)
此时先手必胜
证明：
我们知道在nim游戏中，每堆都是\(0\)时，此时轮到的人失败
而\(0\oplus 0\oplus ...\oplus 0=0\)
所以只要一直让\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)，最后一定会出现全\(0\)局面
为此要证明两点：
第一点：
\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\) 时，一定可以通过一次操作，让\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = 0\)
设\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = x\)
且\(x\)最高位为第\(k\)位
则一定有一个\(i\)，保证\(a_i\)二进制状态下的第\(k\)位为\(1\)
则有\(a_i \oplus x< a_i\)
这点很好证明：
设\(a_i\)后\(k\)位为\(1\)后面一大坨
\(x\)的后\(k\)位同样为为\(1\)后面一大坨
所以两者异或，第\(k\)位没了，剩下的肯定小于\(a_i\)
所以有了这点，我们不妨让\(a_i\)变成\(a_i \oplus x\)，即在第\(i\)堆拿去\(a_i-(a_1 \oplus x)\) 个
所以原来\(n\)堆的异或变成了：
\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i \oplus x \oplus ...\oplus a_n\)
我们知道原来这n堆异或为\(x\)，即\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = x\)
现在又多了一个\(x\)，\(n\)堆的异或变成了\(0\)，目的达到了
第一点证毕
接下来还要证明一点
第二点：
当\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\) 时，不管如何取，取之后n堆异或一定不是\(0\)，即 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\)
这里可以用反证法：
设在第\(i\)堆取走若干个，会使其变成\(a_i'\)
假设取走后\(n\)堆异或还是\(0\):
则\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i' \oplus ...\oplus a_n=0\)
和原来的\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i \oplus ...\oplus a_n=0\) 比较
我们可以让两个等式左右两边异或起来
发现一个神奇的东西：
\(a_i \oplus a_i' = 0\)
即为$a_i=a_i'\ \ $明显矛盾
所以第二点证毕
综上可以得出：
若\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)
则先手无论如何也无法让\(n\)堆异或还是为\(0\)，所以后手每次接到先手操作的结果都是\(n\)堆异或不等于\(0\)，而TA可以通过上述第一点的方式再次让\(n\)堆异或为\(0\)，以此类推，最后先手将受到\(n\)堆全部为\(0\)，就无了
若\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\) ，还是一样的道理，这次是后手无了