全书框架
参考书目：《矩阵分析》刘丁酉
- 第二章：线性空间与线性变换
- 第三章：相似矩阵与Jordan标准形
- 第四章：内积空间
- 第五章：矩阵分解
- 第六章：矩阵分析
知识点
1、奇异矩阵与非奇异矩阵
- 前提：矩阵A为方阵，即m=n
- 定义：
- 奇异矩阵：
- 非奇异矩阵：等价于可逆矩阵。
- 奇异矩阵判别：
- 若行列式|A|=0，则矩阵A为奇异矩阵
- 矩阵A(方阵)半正定，且它的每个特征值大于或等于0，则A为奇异矩阵
- 一个矩阵A(方阵)正定,且它的每个特征值都大于0，为奇异矩阵。
- 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构，为奇异矩阵。
- 非奇异矩阵判别方法：
- 判断，若矩阵A(方阵)行列式|A|≠0，则矩阵A为非奇异矩阵。
- 若矩阵A(方阵)的秩R(A)=n,即不存在非零行，称矩阵A为非奇异矩阵
- 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵是可逆矩阵，二者等价。
- 一个矩阵A(方阵)正定，并且每个特征值都大于零,则该矩阵A为非奇异矩阵。
- 一个矩阵A(方阵)代表的线性变换是个自同构，则该矩阵A为非奇异矩阵。
- 一个非奇异矩阵可表示成若干个初等矩阵之积。
- AX=b有唯一解。
- AX=0有且仅有零解。
2、正定矩阵(Positive Definite)
- 定义：
- 正定矩阵：设M是n阶实对称矩阵， 如果对任一非零实向量X，都使二次型f(X)= XTMX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)对应的矩阵M称为正定矩阵。
- 半正定：
- 性质：
- 正定矩阵的行列式恒为正：|A|>0
- 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同
- 若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵
- 两个正定矩阵的和也是正定矩阵
- 正实数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵