一、傅里叶级数
核心思想：周期函数\(f(t)\)可以看成是一系列频率(周期)不同的周期函数\({f_k}(t)\)的叠加，即：
\[\begin{array}{c}
f(t) = {c_1}{f_1}(t) + {c_2}{f_2}(t) + \cdots + {c_n}{f_n}(t)\\
= \sum\nolimits_{k = 1}^n {{c_k}} {f_k}(t)
\end{array}\]
傅里叶级数假设：周期函数${f_k}(t)$的形式为${e^{ik{w_0}t}}$，其中${w_0}$称为基频，${f_k}(t)$的频率为基频${w_0}$的整数倍，则有：
\[\begin{array}{c}
f(t) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \\
= \cdots + {c_{ - 2}}{e^{ - 2i{w_0}t}} + {c_{ - 1}}{e^{ - 1i{w_0}t}} + {c_0}{e^{0i{w_0}t}} + {c_1}{e^{1i{w_0}t}} + {c_2}{e^{2i{w_0}t}} + \cdots
\end{array}\]
根据基频${w_0}$，理论上我们可以拟合任意周期函数$f(t)$。可是目前${c_k}$对我们而言仍然是不可知的。于是接下来给出求${c_k}$的方法。
在上式两边同时乘以${e^{in{w_0}t}}$，则有：
\[\begin{array}{c}
f(t){e^{ - in{w_0}{\rm{t}}}} = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{i\left( {k - n} \right){w_0}{\rm{t}}}}} \\
= \cdots + {c_{n - 2}}{e^{ - 2i{w_0}t}} + {c_{n - 1}}{e^{ - 1i{w_0}t}} + {c_n}{e^{0i{w_0}t}} + {c_{n + 1}}{e^{1i{w_0}t}} + {c_{n + 2}}{e^{2i{w_0}t}} + \cdots
\end{array}\]
接下来对上式两边进行积分，根据三角函数性质：
\[\int_0^T {{e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( {k \ne 0,T = \frac{{2\pi }}{{{w_0}}}} \right)}
\end{array}\]
于是积分结果为：
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