方阵的行列式值
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为所对应的行列式的值。
det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。
例2.3.1：
验证det(A-1)=1/det(A)。
>> format rat
>> A = [1 3 2; -3 2 1; 4 1 2]
A =
1 3 2
-3 2 1
4 1 2
>> det(inv(A))
ans =
1/11
>> 1/det(A)
ans =
1/11 矩阵的秩
矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
rank(A)：求矩阵A的秩。
例2.3.2：
求3~20阶魔方阵的秩。
>> for n = 3:20
r(n) = rank(magic(n));
end
>> bar(r)
>> grid on
>> axis([2,21,0,20])
>> [3:20;r(3:20)]
矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace(A)：求矩阵A的迹。
例2.3.3：
>> A=[1,3,2; -3,2,1; 4,1,2]
A =
1 3 2
-3 2 1
4 1 2
>> b = trace(A)
b =
5
>> t = sum(diag(A))
t =
5 矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
向量的3种常用范数
向量1—范数：向量元素的绝对值之和。
$$ \begin{Vmatrix} V \end{Vmatrix}_1= \sum_{i=1}^n |v_i| $$
向量2—范数：向量元素绝对值的平方和的平方根。
$$\begin{Vmatrix} V \end{Vmatrix}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |v_i|^2}$$
向量∞—范数：所有向量元素绝对值中的最大值。
$$\begin{Vmatrix} V \end{Vmatrix}_\infty = \max_{1\leq i\leq n}{\lbrace|v_i|\rbrace}$$
在MATLAB中，求向量范数的函数为：
norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。
norm(V,1)：计算向量V的1—范数。
norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
矩阵的范数
矩阵A的1—范数：所有矩阵列元素绝对值之和的最大值。
$$\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}_1 = \max_{1\leq j\leq n}{\lbrace\sum_{i=1}^m|a_{ij}|\rbrace}$$
矩阵A的2—范数：A'A矩阵的最大特征值的平方根。
$$\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}_2 = \sqrt{\lambda_1}$$
其中λ1为A'A的最大特征值。
矩阵A的∞—范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。
$$\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}_\infty = \max_{1\leq i\leq m}{\lbrace\sum_{i=1}^m|a_{ij}|\rbrace}$$
Matlab提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
例2.3.4：
>> x = [2 0 1; -1 1 0; -3 3 0]
x =
2 0 1
-1 1 0
-3 3 0
>> n = norm(x)
n =
5909/1251
>> n = norm(x,1)
n =
6 矩阵的条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。
在Matlab中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：
cond(A,1)：计算A的1—范数下的条件数。
cond(A)或cond(A,2)：计算A的2—范数数下的条件数。
cond(A,inf)：计算A的∞—范数下的条件数。
例2.3.5：
求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。
>> for n = 2:10
c(n) = cond(hilb(n));
end
format long
c'