第五章代数结构
代数系统的运算和性质
闭运算：集合A中的运算其结果还在A中
代数系统
其运算定义可视为实数集合加减乘除的推广
注意：若B是A的逆元则A也是B的逆元，左右逆元不一定存在存在也不一定唯一，左走逆元即使都存在也不一定唯一
半群
广群：是代数系统非空集合S中的一个二元运算，是可封闭的\(<S,*>\)为广群
半群：代数系统\(<S,*>\)是非空集合，*是S上的一个二元运算，
- *是可封闭的
- 是可结合的\(x*(y*z)=(x*y)*z\) 称其为半群
含幺半群：半群含有幺元则为含幺半群。
群：若含幺半群中任意的元素都有逆元，那么说此代数系统为群。下一节再给一次定义
子半群：\(<S，*>\)是一个半群，B属于S，在B上封闭那么\(<B,*>\)也是一个半群，是前者的子半群
有限半群的性质
含有幺元的半群称为独异点
群与子群
1.证明封闭可结合（半群），
2.有幺元
3.任何一个元素都有逆元
群的性质
子群及其性质
子群的判定：(\(<S,*>是<G,*>\)的子群)
先判S是G的非空子集
两条：封闭性 存在逆元
一条： 任意元素ab都有\(a*b^{-1}\subseteq S\)
判断群的有限子集是群：只需要验证封闭性即可B是G的非空子集，B是有限集，正要验证封闭即可
小结
阿贝尔群和循环群
关于幂的运算性质如下
\[\begin{align} &(1)&\forall a\in G, (a^{-1})^{-1} = a\\ &(2)&\forall a, b\in G, (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}.\\ &(3)&\forall a\in G, a^na^m = a^{m+n}\\ &(4)&\forall a \in G, (a^n)^m = a ^{nm}\\ &(5)&若G是交换群，则(ab)^n =a^nb^m \end{align} \]
<G,*>为群，且|G|=n则G为循环群的充要条件是G中存在一个阶为n的元素a
陪集和拉格朗日定理
平凡子群：之前在谈论平凡子代数系统的时候提过，这里的平凡子群就是那个最小的子群和最大的子群。G,
任何质数阶的群不可能有非平凡子群
<G,*>是n阶有限群e是幺元，则有：
- 对任意的\(a\in G\),a的阶必是n的因子从而\(a^{n}=e\)
- 如果n为质数则<G,*>一定是循环群
小结
同态与同构
两个同构的代数系统它们之间的同构映射不一定唯一
可以看成本质相同形式不同的代数系统
如果UV同构那VU也必定存在同构映射\(f^{-1}\) 互为同构
同构在集合中就是等价关系
证明省略
环与域
定义：
环：设\(<R, +, \cdot>\)$为一个代数系统，且满足以下条件：
- \(<R, +>\)为一个交换群（阿贝尔群。
- \(<R, \cdot>\)为一个半群。
- \(\cdot 对 +\)\(\cdot 对 +\)存在分配律
则称代数系统\(<R, +, \cdot>\)为一个环，可以理解为加法与乘法。
规定：
环中加法的单位元为 0， 逆元为
环中乘法的单位元为1，逆元为\(x^{-1}\)(不一定存在逆元)
由子代数系统可以知道，环也可以定义子环，也就是对于环的某一个子集，仍然满足所有的环中运算，且封闭，那么称为一个子环，同样的同态同构也可以定义。
特殊环：
- 环中乘法存在交换律，那么称为交换环。
- 乘法存在单位元，则为含幺环
- 群中乘法无零因子，则称为无因子环，否则称零因子环
- 无零因子的交换含幺环，则称为整环
- 整环中每个元素都有乘法逆元，且总元素数大于等于2，则称为域（实数加法乘法构成域）。
定理：
设\(<R, +, \cdot>\)为一个环，那么
- \(\forall a \in R, a0 = 0a = 0\)
- \(\forall a, b \in R, (-a)b = a(-b) = -ab\)
- \(\forall a, b, c \in R, (a - c)b = ab - cb\)
- \(\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{k=1}^{m}b_k = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_ia_k\)(数学归纳法)
小结
整章总结及习题
