问题描述
题意：现在有 \(n\) 个人要成立若干个社团（一个人可以属于多个社团，也可以不属于任何社团）满足
- 没有两个社团包含的成员完全相同；
- 存在一个整数 \(t\)，使得任意两个不同的社团所共有的成员数恰好为 \(t\)。
求证：所能成立的社团数量不超过 \(n\) 个。
提示：形式化地说，设 \(U=\{1,2,\dots,n\}\)，已知集簇 \(S\subseteq 2^U\) 满足存在 \(t\in U\)，使得对于任意 \(A,B\in S\)，要么 \(|A\cap B|=t\)，要么 \(A=B\)。求证 \(|S|\leq n\)。
设 \(A\) 是一个集合，记号 \(2^A\) 表示由 \(A\) 的所有子集组成的集簇（集合的集合）。
容易发现，只要每个人均成立一个只包含自己的社团，就可以成立恰好 \(n\) 个社团，满足每个社团的成员均不相同，且任意两个不同的社团所共有的成员数量均为 \(0\)（也即 \(t=0\)）。
无论是题面还是证明，这个问题和组合杂题选讲 #3 非常相似，因此也建议读者自行举一反三，尝试找出证明。
解答
假设已经确定了某种成立 \(m\) 个社团的方案，第 \(i(1\leq i\leq m)\) 个社团包含的成员的集合记作 \(C_i\)。
（分类讨论）如果存在某个 \(C_i\) （不妨设为 \(C_1\)）满足 \(|C_i|=t\)，那么一定有 \(t\geq1\) 且 \(C_1\subsetneq C_i(2\leq i\leq m)\)。于是对于任意不相同的 \(i,j\geq2\)，一定有
\[C_i\cap C_j=C_1 \]那么所有 \(C_i\setminus C_1(i\geq2)\) 均是非空的不交集合，这样的集合的数量至多为 \(n-|C_1|\leq n-1\)，于是总集合数 \(m\leq n\)。
另一方面，现在假设不存在某个 \(C_i\)，满足 \(|C_i|=t\)，也即对于任意 \(C_i\) 均有 \(|C_i|\geq t\)。考虑构造 \(\mathbb R^{m\times n}\) 上的矩阵 \(A\)，满足
\[A_{i,j}=\begin{cases}1 & j\in C_i\\0&j\not\in C_i&\end{cases} \]并构造 \(\mathbb R^{m\times m}\) 上的矩阵 \(B=AA^{\mathsf T}\)，考虑 \(B\) 的组合意义，于是
\[B_{i,j}=\begin{cases}|C_i|&i=j\\t&i\neq j\end{cases} \]我们用 \(\dim V\) 表示线性空间 \(V\) 的维数（线性基的个数），用 \(\operatorname{range} T\) 表示线性变换 \(T\) 的值域。用 \(\operatorname{null}T\) 表示线性变换 \(T\) 的零空间，即被 \(T\) 映射到零向量的向量组成的集合。
那么只要验证 \(B\) 是双射就即可说明，
\[m=\dim\operatorname{range}B\leq\dim\operatorname{range}A\leq n \]而验证 \(B\) 是双射只需要把 \(B\) 写成
\[B=t\mathrm J_m+\operatorname{diag}(|C_1|-t,\dots,|C_m|-t) \]的形式，其中 \(J_m\) 表示全为 \(1\) 的 \(m\) 阶矩阵，\(\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_m)\) 表示对角线上分别为 \(a_1,\dots,a_m\) 的对角矩阵。然后根据行列式的定义论证 \(\det B\neq0\) 即可。
另一方面，我们也可以通过说明 \(B\) 是正定矩阵来证明该命题，具体而言，就是说明 \(B\) 是对称矩阵且对于任意非零向量 \(\mathbf x\in\mathbb R^m\)，均有 \(\mathbf x^{\mathsf T}B\mathbf x>0\)。
为了简便起见，将 \(|C_i|\) 记作 \(d_i\)，将 \(\operatorname{diag}(d_1-t,\dots,d_m-t)\) 记作矩阵 \(D\)。注意到 \(d_i-t>0\) 对于任意整数 \(1\leq i\leq m\) 均成立，于是显然矩阵 \(D\) 是正定矩阵。同时 \(\mathrm J_m\) 显然是半正定矩阵，也即对于任意非零向量 \(\mathbf x\in\mathbb R^m\)，均有 \(\mathbf x^{\mathsf T}\mathrm J_m\mathbf x=\left(\sum_{i=1}^m\mathbf x_i\right)^2\geq0\)。于是，对于任意非零向量 \(\mathbf x\in\mathbb R^m\)，
\[\mathbf x^{\mathsf T}B\mathbf x=\mathbf x^{\mathsf T}(t\mathrm J_n+D)\mathbf x=t\mathbf x^{\mathsf T}\mathrm J_n\mathbf x+\mathbf x^{\mathsf T}D\mathbf x>0 \]这说明 \(B\) 是正定矩阵，根据正定矩阵的定义，有 \(\dim\operatorname{null}T=0\)，即 \(B\) 是双射。
2023年1月22日 于深圳南山前海
新年快乐！
标签：mathbf,组合,选讲,矩阵,leq,mathsf,社团,杂题,operatorname From： https://www.cnblogs.com/szdytom/p/combinatorial-misc-8.html