链式法则和分部积分法

链式法则（chain rule）

用于求导，公式有两种写法：

写法1：

写法2： 

示例：对y=(2x-5)³求导。

把2x-5当成u（即u=2x-5），求F'(x)=f'(u)*u'(x)

分别对f(u)和u(x)两个函数求导：(u³)'=3u²，(2x-5)'=2

F'(x) = f'(u) * u'(x) = 3u² * 2，把u=2x-5代入

F'(x) = 3(2x-5)² * 2 = 6 * (4x² - 20x + 25) = 24x² - 120x + 150

分部积分法（Integration by parts）

用于求积分，公式：

示例1：对y=x³ * lnx求积分。

积分式子是∫ x³ * lnx dx

选取u=lnx，那么x³dx = (x⁴/4)'=d(x⁴/4)=dv=v'(x)，所以v=x⁴/4

∫ udv = uv - ∫ vdu = lnx*(x⁴/4) - ∫ (x⁴/4)*du dx，其中du = (lnx)' = 1/x，所以后半部分∫ vdu

∫ vdu = ∫ (x⁴/4)*(1/x) dx = (1/4)*∫ x³dx = (1/4)*(1/4)*x⁴ = x⁴/16，所以整条式子

∫ udv = lnx*(x⁴/4) - x⁴/16 + C（C是所有积分结果最后都要补上常数）

示例2：对y=x²e^x进行积分

积分式子是∫ x²e^x dx

选取u=x²，e^xdx=(e^x)'=d(e^x)=dv，所以v=e^x

∫ udv = uv - ∫ vdu = x²e^x - ∫ e^x*du dx，其中du=(x²)'=2x，所以后半部分∫ vdu

∫ vdu = ∫ e^x*2x dx = 2∫ xe^xdx，此处需要二次分部积分

设m=x，e^xdx=(e^x)'=d(e^x)=dn，所以n=e^x

∫ mdn = mn - ∫ ndm = xe^x - ∫ e^x*dm dx，其中dm=x'=1，所以后半部分∫ ndm

∫ ndm = ∫ e^x*1 dx = ∫ e^x dx = e^x，所以∫ mdn = xe^x - e^x，最后代入∫ udv

∫ udv = x²e^x - 2(xe^x - e^x) + C（C是所有积分结果最后都要补上常数）

示例引用地址：https://jingyan.baidu.com/article/e2284b2b8e16d8e2e6118d85.html