先看个题
若实数 \(a,b,c,d\) 满足 \(a \ge c \ge b \ge d > 0\), 则 \(S=\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{d}{c+d} + \frac{a}{d+a}\) 的取值范围是？
解答过程：
先求上界，
\[\begin{align*} S&=2 + (\frac{d}{c+d} - \frac{d}{a+d}) - (\frac{b}{c+b} - \frac{b}{a+b})\\ ( 令 &f(x) = \frac{x}{c+x} - \frac{x}{a+x} ) \\ &=2 + f(d) - f(b) \end{align*} \]分析函数 \(f(x)\) ,
\[\begin{align*} f(x) &= \frac{x}{c+x} - \frac{x}{a+x}\\ &= \frac{x(a-c)}{(a+x)(c+x)}\\ &= \frac{a-c}{\frac{ac}{x} + x + a+c} \end{align*} \]其中， \(\frac{ac}{x} + x\) 是对钩函数，易知当 \(x \in (0,\sqrt{ac} \, ]\) 时，\(\frac{ac}{x} + x\) 不增，从而 \(f(x)\) 不减。
又由 \(d \le b\) 知 \(f(d) \le f(b)\) ，所以 \(S \le 2\) .
再求下界，
\[\begin{align*} S &= 3 + (\frac{d}{c+d} - \frac{d}{a+d}) - (\frac{b}{c+b} + \frac{a}{a+b}) \\ & \ge 3 - (\frac{b}{b+c} + \frac{a}{a+b}) \\ &> 3 - \frac{b}{2b} - \frac{a+b}{a+b} \\ &= \frac{3}{2} \end{align*} \]令 \(a \rightarrow \infin , \, b=c , \, d \rightarrow 0\) ，则 \(S \rightarrow \frac{3}{2}\) 。
综上， \(S \in (\frac{3}{2} , 2 \,]\)
题目结束了，但是出现了一些奇怪的问题。
观察下界的推导，第一步 = 成立的条件为 \(a=c\) ，而第二步接近极限的方式为 \(a \rightarrow \infin\) 且 \(b=c\) 为一常数 ，这并没有在推导过程中显示出来。
因此，我提出的问题是：在求出了一个取不到的下界后，是否需要证明在范围内的数都满足条件？
这也是 必要/充分 之类的问题。