树状数组笔记整理

树状数组介绍

树状数组，顾名思义，就是树状的一维数组。

二叉树同样也可以用一维数组存储。我们以二叉树进行类比。

如图所示，图中节点的序号就是存在数组中的下标。

记父节点序号为 \(p\),子节点序号为 \(s\)。

则有:

\(p\) \(=\) \(s\) \(/\) \(2\) (向下取整)。

左子节点 \(s_{left}\) \(=\) \(p\) \(* 2\) 。

右子节点 \(s_{right}\) \(=\) \(p\) \(*2+1\) 。

综上可知，二叉树能用一维数组存，是由于其父子节点间存在一定关系，以至于不需要用额外的变量来表示信息。

那类比到树状数组中，可以发现：

\(c\)数组即为树状数组。\(c_i\) 表示区间\(a\)\([i-lowbit(i),i]\) 的和。

ps：点我了解lowbit运算是什么

同样记父节点下标为 \(p\) ,子节点下标为 \(s\)。

则有：

\(p\) \(=\) \(s\) \(+\) \(lowbit(s)\)。

由这条公式亦可反推出：

\(s\) \(=\) \(p\) \(-\) \(2^i\)(\(0 \le i < p_{last}\))

这里的 \(p_{last}\) 指的是 \(p\) 二进制表示下最后一位 \(1\) 所在的位数。

例如：\(6\) 的二进制数表示为 \(110\),则它的 \(p_{last}\) 为 \(1\)。（这里的位数从右往左从\(0\)开始记）。

因为公式 \(1\) 由 \(s\) 加上自身 \(lowbit(s)\) 得到 \(p\) 其过程一定会产生进位。且 \(lowbit(s)\) 一定小于 \(lowbit(p)\) ,所以可以倒推得到子节点。

由于以上关系，树状数组不仅可以用一维数组存。而且还衍生出了一系列用途。

树状数组功能

单点增加

Q：给序列中的一个数 \(a[x]\) 加上 \(y\) 。此时如何维护树状数组？

A:将所有包含 \(a[x]\) 的节点加上 \(y\) 即可，也就是 \(c[x]\) 和它所有的祖先节点。

ps:初始化时亦可运用此操作。

void add(int x,int y){
	for (; x <= N;x += x&-x)  c[x] += y;
	return ;
}

动态维护前缀和

之所以说动态维护，因为用树状数组维护前缀和只需要 \(\log N\) 的时间复杂度。更为优秀。

Q：求 \(a\) 数组 \(a_i \sim a_x\) 的和。

A：将数 \(x\) 分成若干个区间。

区间共同特点：若区间结尾为 \(R\)，则区间长度就等于 \(lowbit（R）\)，即 \(R\) 二进制分解下最小的整数次幂。

举例：当 \(x\) = \(7\) 时

如图所示。

区间划分方式与树状数组相同。前面又提到“\(c\)数组即为树状数组。\(c_i\) 表示区间\(a\)\([i-lowbit(i),i]\) 的和。”

因此只需要将这几个区间所对应的 \(c_i\) 相加。即可得到前缀和。

int ask(int x){
	int ans = 0;
	for (; x ; x -= x & -x) ans += c[x];
	return ans;
}

求逆序对

桶排+树状数组：

1.桶排部分：

对于一个序列 \(a\) , 我们建立一个 \(cnt\) 数组，\(cnt[x]\) 表示 \(x\) 在序列 \(a\) 中出现过的次数。当 \(a_i=val\) 时，\(cnt[val]++\)。

2.树状数组部分：

倒序扫描序列 \(a\)，对于新加入的数 \(a_i\)，查询 \(cnt[1~a_i-1]\) 的前缀和，并将返回的前缀和加入答案。前缀和部分就可以用树状数组来维护。

操作简单粗暴，但相当好用。

for ( int i = n; i; i --) {
	ans += ask (a[i] - 1);
	add (a[i] , 1 );
}

\(-End-\)

\(2023.1.6\)