（数学分析复习）含参量积分总结

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（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围

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写在前面

总结一下含参量正常积分、含参量反常积分、Euler积分，这部分内容主要为曲线积分曲面积分以及多重积分做铺垫。主要参考《数学分析(第四版)下册》(华东师范大学数学系编)。

含参量积分

$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_03$

研究上面两种类型的积分。

含参量正常积分

定理1：积分的连续性

若二元函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_04$ 在矩形区域 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_05$ 上连续，则函数
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_06$
在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_07$ 上连续。

定理2：变限积分的连续性

设二元函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_04$ 在区域
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_09$
上连续，其中 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_10$ 为 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_07$ 上的连续函数，则函数
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_12$
在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_07$ 上连续。

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在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_07$ 上可微，且
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_16$

定理5：可积性

若函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_04$ 在矩形区域 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_05$ 上连续，则 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_19$ 和 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_20$ 分别在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_07$ 和 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_22$ 上可积。

定理6：可积性——累次(二次)积分换序

若函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_04$ 在矩形区域 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_05$ 上连续，则
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_25$

根据上面的定理，可以建立关于正常积分（区别于反常积分）的含参量积分。

例题

$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_26$

这个积分也被称为Serret积分¹，可以推广为更加一般的情况，即：

$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_27$

初看此积分并不含有参量，于是自然得到法一：

法一：直接积分

注意到分母部分恰好为 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_28$ 的导函数，于是换元，令 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_29$ , 则 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_30$ , 则有

$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_31$

上面的计算步骤也可以简化，使用换元法：令 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_32$ ，于是可以得到

$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_33$
从而 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_34$ .

法二：利用含参量积分

构造含参量积分如下，该被积函数显然满足定理3的条件。
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_35$
应用定理3，对 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_36$ 求导得(红色部分由待定系数法求得)
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_37$
所以
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_38$
得到 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_39$ .

含参量反常积分

含参量反常积分需要考虑其收敛性，下面介绍一些定义与定理。

定义1：含参量反常积分的一致收敛

设函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_04$ 定义在无界区域 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_41$ , 若含参量反常积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 与函数 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_43$ 对 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_44$ , s.t. $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_45$ 时，对一切 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_46$ 都有
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_47$
则称含参量反常积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛于 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_50$ , 或称含参量积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛。

定理1：一致收敛的柯西准则

含参量反常积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_55$ 时，对一切 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_56$ , 都有
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_57$
由上述定理可得：

含参量反常积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_60$ .

定理2：含参量反常积分与函数项级数一致收敛性的关系

含参量反常积分 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_42$ 在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_63$ 对任一区域 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_64$ 的递增数列 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_65$ (其中 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_66$ )，函数项级数
$（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_67$
在 $（数学分析复习）含参量积分总结_取值范围_49$ 上一致收敛。