前缀和，差分
通俗理解
- 前缀和听起来好高级啊，那么他究竟是什么啊？
当询问一个区间[l,r]的和sum（忽略掉O(n)的暴力，它就发挥了大用处。基本的前缀和如下：
s[i]=s[i-1]+a[i]
-
差分是什么啊？
当多次对于区间[l,r]加或减一个权值时,差分很重要
差分还要多一个东西：差分数组
b[i]=a[i]-a[i-1]对差分进行前缀和就变成了原数组，前缀和数组进行差分便成了原数组
对一个区间[l,r]加一个权值c时
b[l]+=c,b[r+1]-=c;
接下来看几道栗子吧
前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],s[N];
void solve()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i<=n; i++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i<=n; i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
while(m--)
{
int l,r;
cin >> l >> r;
cout << s[r]-s[l-1] <<endl;
}
}
signed main()
{
solve();
return 0;
}
再来看看二维的前缀和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N],s[N][N];
void solve()
{
int n,m,q;
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++) cin >> a[i][j];
}
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
s[i][j]=a[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1] <<endl;
}
}
signed main()
{
solve();
return 0;
}
差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r][l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],b[N];
void solve()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i<=n; i++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i<=n; i++) b[i]=a[i]-a[i-1];
while(m--)
{
int l,r,c;
cin >> l >> r >> c;
b[l]+=c,b[r+1]-=c;
}
for(int i = 1; i<=n; i++) b[i]+=b[i-1];
for(int i = 1; i<=n; i++) cout << b[i] <<' ';
}
signed main()
{
solve();
return 0;
}
二维差分
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2） 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q
接下来n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int s[N][N];
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
s[x1][y1]+=c;
s[x1][y2+1]-=c;
s[x2+1][y1]-=c;
s[x2+1][y2+1]+=c;
}
void solve()
{
int n,m,q;
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
int v;
cin >> v;
add(i,j,i,j,v);
}
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2,c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
add(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++) s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
}
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
cout << s[i][j] <<' ';
}
cout <<endl;
}
}
signed main()
{
solve();
return 0;
}
看一下实战题
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 10;
int a[N][N];
void solve()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
int x,y,w;
cin >> x >> y >> w;
a[x+1][y+1]+=w;
}
for(int i = 1; i<N; i++)
{
for(int j = 1; j<N; j++) a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i<N; i++)
{
for(int j = 1; j<N; j++)
{
int x1 = i,y1 = j,x2 = i+m-1,y2 = j+m-1;
if(x2>=N||y2>=N) continue;
int t = a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
ans=max(ans,t);
}
}
cout << ans <<endl;
}
signed main()
{
solve();
return 0;
}
这道题还用到了二分
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m;
bool check(int mid,vector<vector<int>>a)
{
vector<vector<int>>s(n+10);
for(int i = 0; i<=n+2; i++) s[i].resize(m+10);
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
if(a[i][j]>=mid) s[i][j]=1;
else s[i][j]=0;
}
}
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
}
}
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
int x1 = i,y1 = j,x2 = i+mid-1,y2 = j+mid-1;
if(x2>n||y2>m) continue;
int t = s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
if(t==mid*mid) return true;
}
}
return false;
}
void solve()
{
cin >> n >> m;
vector<vector<int>>a(n+10);
for(int i = 0; i<=n+2; i++) a[i].resize(m+10);
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<=m; j++) cin >> a[i][j];
}
int l = 0,r = min(n,m);
while(l<r)
{
int mid = (l + r + 1)>>1;
if(check(mid,a)) l=mid;
else r = mid - 1;
}
cout << l <<endl;
}
signed main()
{
int T;
cin >> T;
while(T--) solve();
return 0;
}