1 第一章习题
1.1 第一次作业
1.1.1 两个随机变量的函数的概率密度求解
法1：先求解概率分布函数，再由分布函数求导得到概率密度。
例题：已知随机变量\(X\)服从参数为1的指数分布，求\(Y = \sqrt{2X}\)的概率密度函数。
解答：由题意知，随机变量\(X\)的概率密度为：
\[f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} \]令\(A = \sqrt{2X}\)，则有：
\[\begin{aligned} F_A(a) &=P(A \leq a) \\ & = P(\sqrt{2X} \leq a) \\ & = P(X \leq \dfrac{a^2}{2}) \\ & = \int_0^{\frac{a^2}{2}} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x \\ & = 1 - \mathrm{e}^{-\frac{a^2}{2}} \end{aligned} \]则随机变量\(A\)的概率密度为：
\[f_A(a) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}F_A(a) = ae^{-\frac{a^2}{2}}, \quad a>0 \]
法2：利用概率密度的四则运算。
(一) 类型一 ：\(Z=X±Y\)
随机变量\(Z\)的概率密度为：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, \pm(z-x)) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \]\[\Updownarrow \]\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z \mp y, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \]当随机变量\(X、Y\)互相独立时，有：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(\pm(z-x)) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \]\[\Updownarrow \]\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z \mp y) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \]其中，对于加的情况，上述公式后两个即卷积公式。
(二) 类型二 ：\(Z = XY\)
此时，随机变量\(Z\)的概率密度为：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|x|}f(x, \dfrac{z}{x}) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \]\[\Updownarrow \]\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|y|}f(\dfrac{z}{y}, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \]当随机变量\(X、Y\)互相独立时，有：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|x|}f_X(x) f_Y(\dfrac{z}{x}) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \]\[\Updownarrow \]\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|y|}f_X(\dfrac{z}{y}) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \](三) 类型三： \(Z=X/Y\)
此时，随机变量\(Z\)的概率密度为：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} |y|f(yz, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \]当随机变量\(X、Y\)互相独立时，有：
\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} |y|f_X(yz) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty \]参考资料
【1】 二维随机变量期望公式_两个连续随机变量的四则运算 - CSDN
【2】数学概率之z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布 - CSDN
标签：infty,int,dfrac,知识,随机,quad,习题,随机变量,mathrm From： https://www.cnblogs.com/junhengwang/p/16640423.html