泰勒公式笔记

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一口气搞定泰勒公式的本质及展开原则！

常见泰勒公式

\(当x\longrightarrow 0时，\)

1. \[\sin x = x-\frac{1}{6} x^3+o(x^3) \]

2. \[\arcsin x =x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \]

3. \[\tan x =x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]

4. \[\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]

5. \[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) \]

6. \[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]

7. \[\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4) \]

8. \[(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3) \]

洛必达对比泰勒公式

洛必达：

\[\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{6x} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6} \]

泰勒展开：

\[\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{x-[x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3) ]}{x^3} =\frac{1}{6} \]

总结：

1. 等价无穷小是特殊的泰勒公式
2. 泰勒公式计算的本质是近似
3. 洛必达计算的本质是降阶

泰勒公式使用原则：

1. 乘除使用等价无穷小
2. 加减位置，上下同阶
3. 前后不能抵消的最低次幂

上下同阶：

1. 消掉低阶量
2. 忽略高阶量
3. 全部同阶量

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