解线性方程组：
克莱姆法则: 方程组有解且唯一；
逆矩阵（初等变换）： 利用逆矩阵可解 线性方程组；
当系数行列式D =0时，则方程组无解 或 有无穷解；
齐次式 : 等式右边全为零(标准方程). 注意： x^3 + 2*x^2 - 5 = 0 不是标准方程，因为它的常数项不为零；
齐次线性方程组（增广矩阵）：
1.只有零解， 此时 D =/= 0 ，且是唯一解；
2. 有非零解，此时 D =0， 且是无穷解；
矩阵的变换：
A~B:
A与B 等价，即 A 经过 有限次 初等变换 可变成B；
性质： 1. 反身性： A~A;
2. 对称性： A~B, B~A;
3. 传递性： A~B, B~C, A~C;
满秩矩阵： 可逆矩阵；
等价标准型：
初等矩阵：
单位矩阵经过一次初等变换 所获得的矩阵；
性质: E(i,j) : 第 i 行 与 j 行 换位置；
E( i(k) ): 第 i 行 的k 倍；
E(i, j(k) ): 第 j 行的 k 倍 加到 i 行；
左乘：
初等矩阵 * 矩阵 = 矩阵的 行 初等变换( 按照 行初等矩阵 的规则 变换)
右乘：
矩阵 * 初等矩阵 = 矩阵的 列 初等变换( 按照 列初等矩阵 的规则 变换);
: A 与 B 行等价；其充要条件为： 存在 n 阶 可逆矩阵P，使得 PA=B;
： A与B 列等价； 其充要条件为： 存在n 阶可逆矩阵Q ，使得 AQ =B;
m*n阵中 A与B 的充要条件：
存在 m 阶可逆阵 P， n 阶可逆阵 Q， St PAQ = B.
PAQ = p1* p2* p3 ....pn* A*q1 *q2 *q3 ...qn = B;
若 AX=B, 则 X = A^-1 *B；
增广矩阵(A,B)= (E,A^-1 * B) ；
方阵A 可逆的充要条件：
A 可表示为 若干矩阵的乘积； 即 A ~ E；
矩阵的秩：
矩阵的k 阶子式：
在 m*n 阶矩阵中， 任取 k行k列，(k<=m, k<=n),由它们 的交点 构成的 k^2 个元素 按照原来的顺序构成的行列式；
k阶子式的个数：
零子式： 当一个 k阶子式 = 0时，称为 零子式；
秩：
若r 为矩阵 A 的 非零子式 的最高 阶数， 则 r称为 矩阵A 的秩；记作： 
,
或
属性：
规定： R(0) =0： 即 零矩阵 的秩 为零；
m*n 阶 矩阵的秩： 0 <= R(A) <= min(m,n);
R(A) = R(A^t);
满秩矩阵 等价于 可逆矩阵； 降秩矩阵 等价于 不可逆矩阵；
性质:
R(PAQ) = R(PA) = R(AQ) = R(A); 其中，P,Q为可逆矩阵；
max{ R(A), R(B) } <= R(A,B) <= R(A) + R(B);
max{R(A), R(B) } <=
<= R(A) +R(B);
R(A+B) <= R(A)+R(B);
R(AB) <= min{ R(A),R(B) }
矩阵解线性方程组：
若系数矩阵为 A， 则 记： 
为 增广矩阵；
解的个数：
1.唯一解： R(A)=R() = 未知数的个数；
2.无穷解： R(A) = R() < 未知数的个数；
3.无解： R(A) =/= R();
自由未知量的个数： = 未知数的个数 - 秩；
对于讨论参数 形问题（即参数为何值时，有唯一解？无解？无穷解？），其方法有：
1.利用 秩 计算； 2. 利用 克莱姆法则；
向量组：
n 维向量：
由 a1,a2 ... an 组成的 有序数组 称为 n维向量， 每个数 称为 其 分量；
这里的 n维 向量 即 指的是 行 （或者是 列） 矩阵； 一行n列的矩阵 称为 行 向量；
向量组：
同一维度 的向量构成的集合，称为 向量组；
eg: m*n 阵中， 列向量组为 ：
, 行向量组为：
向量组的线性组合：
如： 有向量组：
实数组： k1,k2 ... kn ;
则 称： k1*a1 + k2*a2 + ...+ kn*an 为向量组A 的线性组合；
若一个向量 b=k1*a1 + k2*a2 + ...+ kn*an, 则 称 b 为 向量组A 的一个线性组合； 或 称 b 能够由 向量组A 线性表示；
向量组的线性表示:
若 向量组A ：a1,a2 ...an;
向量组B ：b1,b2 ...bn;
若 B 中的每一个向量都能由 向量组A 线性表示， 则称 向量组B 能由向量组A 线性表示；
向量组等价：
R(A) = R(B) = R(A,B) <==> 若向量组 A 与 向量组B 能够互相表示，则称 向量组A 与B 等价；
若向量组 B 能 由 向量组 A 线性表示， 则 R(B) <= R(A);
线性相关 与 线性无关:
若向量组A： a1,a2 ... am
有：不全为零的实数组： λ1，λ2 ... λm;
使得 λ1*a1 + λ2*a2 + ... λm*am =0, 则 称 向量组 A 线性相关，否则线性无关；
向量组线性相关的条件：
当且仅当向量组中 至少有一个向量 可 由 其余向量线性表示；
性质：
m 个 n维 向量 (m>n) 构成的向量组 一定 线性相关；
若向量组A : a1,a2,... am 线性无关；
向量组B：a1,a2,... am,b 线性相关；
则b 能 由 向量组 A 线性表示， 且表达式唯一；
反之，若向量B 线性无关，则向量A 也线性无关；
向量组的秩：
若 A 为 一个向量组， A 的部分组 A0: a1,a2, ... ar 满足：
1. A0： a1,a2,... ar 线性无关；
2. A 的任意向量 都可 由 A0 线性表示；
则称 A0 为 向量组 A 的一个最大线性无关组， 简称 最大无关组， r 称为向量组 A 的秩，记作 ：
注： 只含有 零向量的向量组，规定秩为零；
一个线性无关向量组 就是其本身；
向量组的最大无关组 一般不是唯一的；
矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组 的秩；
向量组 b1,b2 ... bm 能由 向量组 a1,a2 ... am 线性表示的充要条件：
R(a1,a2 ... am) = R(a1,a2 ... am, b1,b2 ... bm);
若向量组 b1,b2 ... bm 能由 向量组 a1,a2 ... am 线性表示:
则 R (b1,b2 ... bm) <= R(a1,a2 ... am);
线性方程组的解的结构：
若 ε1，ε2 是 齐次式 的解， 则 x = ε1+ε2， x= k*ε1 , 及 x= k1*ε1+k2 仍是它 的解,即两个解的任意线性组合 ，仍是它的解；
基础解系：
若 ε1，ε2 ... ， 若ε(n-r) 是Ax =0 的解，其满足：
1. ε1，ε2...ε(n-r) 线性无关；
2. Ax =0 的 任一解 可由： ε1，ε2 ... ε(n-r) 线性表示；
则称： ε1，ε2 ... ε(n-r) 是 Ax =0 的一个基础解系；
注：
证明基础解系有三个条件： 解 --> 线性无关 --> 线性表示；
基础解系中向量的个数 = 自由未知量的个数， 通解 是基础解系 的倍数；
若：
有解，则其通解为：
其中，
是 非齐次 的一个特解 ， 可 令 自由未知量 =0；
ε 是齐次的通解， 可令 非齐次式 系数 视为 0，求基础解系；
2019.4.12 补充：
伴随矩阵的秩与原矩阵的关系:
若 A 为 n阶矩阵：
1.若 r(A) = n, 则 r(A*)=n, 即 若原矩阵的秩 为 满秩，伴随矩阵也为 满秩。
2.若 r(A) = n-1, 则 r(A*) = 1;
3.若 r(A) < n-1, 则 r(A*) =0;
注意到，它的 有效区间 只有一个单位；
2019.4.14 补充:
线性代数中两种等价关系:
1.向量组的等价： R(A) = R(B) = R(A,B) <==> 若向量组 A 与 向量组B 能够互相表示，则称 向量组A 与B 等价；
2.矩阵的等价： 在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。 简言之： 需要满足两个条件： 秩相等，行列数相等。
克莱姆法则：
利用增广矩阵求逆矩阵的乘积：
内容如下： 求 A^-1 *B ；
A|B = E|A^-1 *B;
例题：
