这个视频讲的很好，利用对称性揭示了向量积的本质。可以反复观看。
对于两个夹角为 \(θ\) 的 \(x-y\) 平面直角坐标系上的向量 \(\mathbf a\) 和 \(\mathbf b\)，定义它们的点积为标量，数值等于 \(\mathbf {ab} \cos θ\)；叉积为矢量，方向在 \(z\) 轴上，\(z\) 坐标为 \(\mathbf {ab} \sin \theta\)。
如何推出在二维坐标下两个向量的叉积公式？使用和差化积公式对这两个数值进行变形。
\(\mathbf {ab} \cos \theta = \mathbf {ab} \cos (\alpha - \beta) = \mathbf {ab} \cos \alpha \cos \beta + \mathbf {ab} \sin \alpha \sin \beta = A_x B_x + A_y B_y\)
\(\mathbf {ab} \sin \theta = \mathbf {ab} \sin (\alpha - \beta) = \mathbf {ab} \sin \alpha \cos \beta - \mathbf {ab} \sin \alpha \cos \beta = A_x B_y - A_y B_x\)
叉积的性质：
- \(\mathbf{a \times b}\) 就是平行四边形的面积。这可以用来计算多边形的面积。
- 这里 \(\theta \in [0, \pi]\)，如果是顺时针，算出来的结果是负数（也就是落在 \(z\) 轴的下方）；否则是正数。顺负逆正。这可以用来判断多边形的凸性。
扩展：在三维右手系中，如果把三维旋转一下，向量本质相同，那么有：
\[(\mathbf{A \times B})_y = A_zB_x-A_xB_z (\mathbf{A \times B})_x = A_yB_z-A_zB_y \]三维坐标系中通用公式：
\[a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3) \]则
\[a \times b = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) \]考虑高维也是类似的东西？
但其实向量叉乘只在三维和七维空间存在，考虑的二维只是 \(a_z = b_z = 0\) 的情况。