详解逻辑回归与评分卡-二元逻辑回归损失函数的数学解释，公式推导与解惑【菜菜的sklearn课堂笔记】

视频作者：菜菜TsaiTsai 链接：【技术干货】菜菜的机器学习sklearn【全85集】Python进阶_哔哩哔哩_bilibili

白板推导里有写过程，但是当时理解的不太好，$\psi(x_{i},\omega)$的理解有点问题也就是下面的$y_{\theta}(x_{i})$

我们基于极大似然法来推导二元逻辑回归的损失函数，这个推导过程能够帮助我们了解损失函数怎么得来的，以及为什么$J(\theta)$的最小化能够实现模型在训练集上的拟合最好。

请时刻记得我们的目标：让模型对训练数据的效果好，追求损失最小。

关键概念：损失函数

衡量参数$\theta$的优劣的评估指标，用来求解最优参数的工具 损失函数小，模型在训练集上表现优异，拟合充分，参数优秀 损失函数大，模型在训练集上表现差劲，拟合不足，参数糟糕 我们追求，能够让损失函数最小化的参数组合

注意：没有”求解参数“需求的模型没有损失函数，比如KNN，决策树

二元逻辑回归的标签服从伯努利分布(即0-1分布)，因此我们可以将一个特征向量为$x$，参数为$\theta$的模型的一个样本$i$的预测情况表现为如下形式： 样本$i$在由特征向量$x_{i}$和参数$\theta$组成的预测函数中，样本标签被预测为1的概率为 $$ P_{1}=P(\hat{y_{i}}=1|x_{i},\theta)=y_{\theta}(x_{i}) $$ 样本$i$在由特征向量$x_{i}$和参数$\theta$组成的预测函数中，样本标签被预测为0的概率为 $$ P_{1}=P(\hat{y_{i}}=0|x_{i},\theta)=1-y_{\theta}(x_{i}) $$ 预测值与真实值之间的关系以及信息损失的关系如下图

将两种取值的概率整合，我们可以定义如下等式： $$ P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)=P_{1}^{y_{i}}\cdot P_{0}^{1-y_{i}} $$

这个等式同时代表了$P_{1}$和$P_{0}$。 当样本$i$的真实标签$y_{i}$为1的时候，$1-y_{i}$就等于0，$P_{0}$的0次方就是1，所以$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$就等于$P_{1}$，这个时候，如果$P_{1}$为1，模型的效果就最好，损失最小。 同理，当$y_{i}$为0的时候，$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$就等于$P_{0}$，此时如果$P_{0}$非常接近1，模型的效果就很好，损失就很小。

为了达成让模型拟合好，损失小的目的，我希望任何取值下$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$的值等于1。 而$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$的本质是样本$i$由特征向量$x_{i}$和参数$\theta$组成的预测函数中，预测处所有可能的$\hat{y_{i}}$的概率，因此1是它的最大值。也就是说，每时每刻，我们都在追求$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$的最大值，这就将模型拟合中的“最小化损失”问题，转化成函数求解极值的问题

$P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)$是对单个样本$i$而言的函数，对一个训练集的$n$个样本来说，我们可以定义如下等式来表达所有样本在特征矩阵$X$和参数$\theta$组成的预测函数中，预测处所有可能的$\hat{y}$的概率$P$为 $$ \begin{aligned} P&=\prod\limits_{i=1}^{n}P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}(P_{1}^{y_{i}}\cdot P_{0}^{1-y_{i}})\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}(y_{\theta}(x_{i})^{y_{i}}\cdot (1-y_{\theta}(x_{i}))^{1-y_{i}}) \end{aligned} $$ 两侧同时取对数 $$ \begin{aligned} \log P&=\log \prod\limits_{i=1}^{n}(y_{\theta}(x_{i})^{y_{i}}\cdot (1-y_{\theta}(x_{i}))^{1-y_{i}})\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\log(y_{\theta}(x_{i})^{y_{i}}\cdot (1-y_{\theta}(x_{i}))^{1-y_{i}})\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i} \cdot \log y_{\theta}(x_{i})+(1-y_{i})\cdot \log(1-y_{\theta}(x_{i}))) \end{aligned} $$ 这就是我们的交叉熵函数。为了数学上的便利以及更好地定义”损失”的含义，我们希望将极大值问题转换为极小值问题，因此我们对$\log P$取负，并且让参数$\theta$作为函数的自变量，就得到了损失函数$J(\theta)$ $$ J(\theta)=-\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i} \cdot \log y_{\theta}(x_{i})+(1-y_{i})\cdot \log(1-y_{\theta}(x_{i}))) $$ 这就是一个，基于逻辑回归的返回值$y_{\theta}(x_{i})$的概率性质得出的损失函数。在这个函数上，我们只要追求最小值，就能让模型在训练数据上的拟合效果最好，损失最低。 其中$\theta$表示求解出来的一组参数，$n$是样本个数，$y_{i}$是样本$i$上的真实标签，$y_{\theta}(x_{i})$是样本$i$上基于参数$\theta$计算出来的逻辑回归返回值，$x_{i}$是样本$i$各个特征的取值 注意，在逻辑回归的本质函数$y(x)$例，特征矩阵$x$是自变量，参数㐊$\theta$。但在损失函数中，参数$\theta$是损失函数的自变量，$x$和$y$都是已知的特征矩阵和标签，相当于是损失函数的参数。

不同的函数中，自变量和参数各有不同，因此大家需要在数学计算中，尤其是求导的时候避免混淆。

关键概念：似然与概率

以样本$i$为例，我们有表达式 $$ P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta) $$ 对于这个表达式而言，如果参数$\theta$是一致的，特征向量$x_{i}$是未知的，我们便称$P$是在探索不同特征取值下获取所有可能的$\hat{y}$的可能性，这种可能性就被称为概率，研究的是自变量和因变量之间的关系 如果特征向量$x_{i}$是已知的，参数$\theta$是未知的，我们便称$P$是探索不同参数下获取所有可能的$\hat{y}$的可能性，这种可能性就被称作似然，研究的是参数取值与因变量之间的关系 在逻辑回归的建模过程中，我们的特征矩阵是已知的，参数是未知的，因此我们讨论的所有“概率”其实严格来说都是“似然”，所以逻辑回归的损失函数推导方法叫做“极大似然法”。也因此，一下式子又被称为“极大似然函数” $$ P(\hat{y_{i}}|x_{i},\theta)=y_{\theta}(x_{i})^{y_{i}}\cdot (1-y_{\theta}(x_{i}))^{1-y_{i}} $$