在集合理论和有理数理论的基础上，我们可以开始构建实数理论。下面将要介绍的是实数系 \(\mathbb{R}\) 的一种（通过有理数系 \(\mathbb Q\) 出发的）构造方法，是由戴德金于 1872 年提出。这种方法以戴德金分割而著称。除此之外，实数系还可以使用柯西序列的形式极限或者十进制下的小数表示来构造。
5A.1 动机
在定义新东西之前，我们通常要考察这个定义的动机，这里即我们为何需要实数集，有理数集的不足是什么？我们下面将给出两个理由。
我们早先在有理数集上定义了乘法，考虑这样一个式子：
\[r^2=2 \]能找到有理数 \(r\in\mathbb Q\) 满足上面式子吗？
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命题 5A.1.1（\(\sqrt2\) 不是有理数）：\(r^2=2\Rightarrow r\not\in\mathbb{Q}\)，即不存在一个有理数 \(r\)，使得 \(r^2=2\)。
证明：（反证法）如果 \(r\in\mathbb Q\land r^2=2\)，记 \(r=p/q\)，其中 \(p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N,p\perp q\)，则有 \(r^2=p^2/q^2=2\)，即 \(p^2=2q^2\)。这说明 \(p\) 是一个偶数，记 \(p=2k\)，带回得到 \(4k^2=2q^2\)，即 \(q^2=2k^2\) ，这说明 \(q\) 也是一个偶数，与假设 \(p\perp q\) 矛盾，假设不成立。因此，\(r^2=2\Rightarrow r\not\in\mathbb{Q}\)
这是一个常见的例子，可谓是老生常谈，但是这个例子事实上具有指导性意义，它表明虽然有理数是稠密的，但是有理数有无穷多个“洞”（你可以把 \(2\) 换成任何一个不是完全平方数的自然数）。这充分说明了 \(\mathbb Q\) 还不够完整，是我们需要定义实数集的一个很好的理由。考虑下面另一个例子：
我们尝试在拥有无限个元素的数集上定义仿造有限数集所定义的最大值。具体而言，我们定义数集的上界。
- 定义 5A.1.2（上界）：对于一个数集 \(A\)，若 \(\forall_{x\in A}x\leqslant m\)，则称 \(m\) 为数集 \(A\) 的一个上界。
注意这个定义不能保证一个数集的上界是唯一的。举个例子，考虑数集
\[A=\left\{x\in \mathbb Q\vert x<10\right\} \]由定义 \(10\) 显然是 \(A\) 的一个上界，但是 \(A\) 还有很多上界，例如 \(11\) 也是 \(A\) 的上界。然而有限的数集的最大值显然是唯一的，因此我们尝试定义数集的上确界。
- 定义 5A.1.3（上确界）：对于一个存在上界的数集 \(A\)，若 \(m\) 是 \(A\) 的一个上界且对于 \(A\) 的任意一个上界 \(m'\)，都满足 \(m\leqslant m'\)，则称 \(m\) 是 \(A\) 的上确界。
这个定义对于有理数集 \(\mathbb Q\) 而言，是不太合适的。具体而言，在有理数体系中，我们不能断言对于任意一个存在上界的数集，存在上确界。下面将要给出一个反例，但是在此之前，请允许我先证明一个引理。
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引理 5A.1.4（平方根的不可趋近性）：\(\forall_{m\in\mathbb{Q^+},m^2>n\in\mathbb{Z^+}}\exists_{s\in\mathbb{Q^+}}s<m\land s^2>n\)，即对于任意的 \(m\in\mathbb{Q^+}\) ，满足 \(m^2>n\)，其中 \(n\) 是一个正整数，总能找到一个正有理数 \(s<m\)，满足 \(s^2>n\)。
证明：（构造性证明）由于 \(m\in\mathbb Q^+\)，我们可以把 \(m\) 写作 \(m=p/q\) 的形式，其中 \(p,q\in\mathbb {Z^+},p\perp q\)。由于 \(m^2>n\)，故
\[p^2-nq^2>0 \]我们取
\[s=\frac{p^2+nq^2}{2pq}>0 \]于是
\[m-s=\frac{p^2-nq^2}{2pq}>0 \]即 \(s<m\)，同时
\[s^2=\frac{p^4+2np^2q^2+n^2q^4}{4p^2q^2}>\frac{4np^2q^2}{4p^2q^2}=n \]由此可见，这个 \(s\) 满足要求，原命题得证。
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命题 5A.1.5（有的集合不存在有理数上确界）：在有理数体系中，存在存在（有理数）上界，但是不存在上确界的数集。
证明：（构造性证明）考虑数集 \(A=\left\{r\in\mathbb Q:r^2<2\right\}\)，我们首先证明 \(A\) 存在上界，例如 \(2\) 就是 \(A\) 的上界，然后证明根据定义 \(A\) 不存在上确界。
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（反证法）假设 \(2\) 不是 \(A\) 的上界。则根据定义，\(\exists_{x\in A}x>2\)，因此 \(x>0\)，故 \(x^2>2^2=4\)，但是根据 \(A\) 的定义 \(x^2<2\)，矛盾，假设不成立。因此，\(2\) 是 \(A\) 的上界，即 \(A\) 存在上界；
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（反证法）假设有理数 \(m\) 是 \(A\) 的上确界。显然有 \(m>0\)（分类讨论），
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若 \(m^2<2\)，取
\[s=m-\frac{m^2-2}{m+2}>m \]同时有
\[s^2-2=\frac{2(m^2-2)}{(m+2)^2}<0 \]根据定义 \(s\in A\)，且 \(s>m\)，矛盾，假设不成立；
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由 5A.1.1 知不存在 \(m\in\mathbb Q\)，满足 \(m^2=2\)；
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若 \(m^2>2\)，由 5A.1.4 知，存在 \(m'\in\mathbb Q^+\)，满足 \(m'<m\land m'>2\)，由定义可以知道，\(m'\) 也为 \(A\) 的一个上界。于是 \(m\) 不满足上确界的定义，矛盾，假设不成立。
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综上所述，假设不成立。所以 \(A\) 不存在上确界，原命题得证。
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其实，我们很容易发现，\(A\) 的上确界是 \(\sqrt2\)，但是我们尚未定义实数集时，\(A\) 确实不存在上确界。这个例子也表明了有理数的不完备性。
5A.2 实数集的构造
我们通过 5A.1.5 发现，有理数集合的上确界有时不是一个有理数。因此，实数系所具有的一个重要特征应该是实数系中定义的全序关系 \(\leqslant\) 是完备的，即该集合的任意有上界的非空真子集存在上确界。受这个思想启发而得到的实数系的构造方法，就是戴德金分割。除非特殊说明，我们下面使用的补集记号 \(\overline{A}\)，均指 \(A\) 关于 \(\mathbb Q\) 的补集，即 \(\overline{A}:=\mathbb Q\setminus A\)。
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定义 5A.2.1（戴德金分割）：对于 \(\mathbb Q\) 任意一个子集 \(\alpha\)，称 \(\alpha\) 为一个分割，当且仅当 \(a\) 满足以下全部条件：
- \(\alpha\neq\varnothing\land\alpha\neq\mathbb Q\)；
- 对于任意 \(x\in\alpha,y\in\overline{\alpha}\)，均有 \(x<y\)；
- 对于任意 \(x\in\alpha\)，均存在 \(b\in\alpha\)，使得 \(a<b\)。
在 \(\mathbb Q\) 的全部子集中，由是分割的那些子集所组成的集簇（集合的集合）称为实数集，记作 \(\mathbb R\)。
我们应当仔细观察分割的定义，以便于理解这个定义到底在说什么。直观上理解，一个分割是 \(\mathbb Q\) 的一个前缀，并且这个前缀没有一个最大数。另一方面，如果有一个 \(\mathbb Q\) 的子集 \(A\) 满足 5A.2.1.1 和 5A.2.1.2，但是不满足 5A.2.1.3，则 \(A\) 中一定存在一个最大数，去掉这个最大数后，\(A\) 就变为一个分割了。
我们更进一步，考察分割所具有的数学性质。下面是几个较为基础的结论：
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定理 5A.2.2（分割的基本性质）：对于一个分割 \(\alpha\)，
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对于任意 \(x\in\alpha\) 和 \(y\in\mathbb Q\) 满足 \(y<x\)，均有 \(y\in\alpha\)。
证明：（反证法）假设 \(y\not\in\alpha\)，则必有 \(y\in\overline{\alpha}\)，与分割定义 5A.2.1.2 矛盾，假设不成立。原命题得证。
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对于任意有理数 \(x>0\)，均存在整数 \(n\)，使得 \(xn\in\alpha\land x(n+1)\in\overline{\alpha}\)。
证明：TODO
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通俗地说，实数是由有理数和无理数组成的。因此，每个有理数都应该对应了一个实数，也就是一个分割。
- 定义 5A.2.3（有理数的嵌入）：对于一个有理数 \(r\in\mathbb Q\)，其对应的分割为 \(\left\{s\in\mathbb Q\vert s<r\right\}\)，记作 \(r^*\)。在合理的场景下，也可以直接使用 \(r\) 表示 \(r^*\)，而无需严格区分。
容易验证对于任意一个有理数 \(r\)，\(r^*\) 确实是分割，因此上述定义是良好的。
5A.3 次序关系与确界原理
我们现在尝试把有理数系 \(\mathbb Q\) 上成立的运算及性质推广到 \(\mathbb R\) 上。其中最容易的一个莫过于次序关系的定义。
- 定义 5A.3.1（实数的次序关系）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，我们称 \(\alpha\leqslant\beta\)，当且仅当 \(\alpha\subseteq\beta\)。
其他的几个次序关系，即 \(<,=,\neq,>,\geqslant\)，可以按照一般法则从上述定义中推导，故不再展开。这个定义的实数的次序关系显然是良好且自然的，一方面，对于两个有理数 \(r,s\in\mathbb Q\)，若 \(r=s\)，则一定有 \(r^*=s^*\)；若 \(r<s\)，则一定有 \(r^*<s^*\)。另一方面，这个次序关系也符合整数或者有理数的次序关系的许多性质。
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命题 5A.3.2（实数的序的基本性质）：对于任意实数 \(x,y\in\mathbb R\)
- 反对称性：\(x<y\iff \lnot(y<x)\)；
- 传递性：\((x<y\land y<z)\implies x<z\)；
- 三歧性：\(x<y,x=y,y<x\) 中恰有一个是真的。
有了次序，我们终于可以正式地定义由实数组成的集合的上界和上确界（同理可定义下界和下确界，不再展开）。
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定义 5A.3.3（上界）：设 \(A\subseteq\mathbb R\)，\(\beta\in\mathbb R\)。如果对于任意 \(\alpha\in A\)，均成立 \(\alpha\leqslant\beta\)，则称 \(\beta\) 为集合 \(A\) 的一个上界。
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定义 5A.3.4（上确界）：设非空集合 \(A\subseteq\mathbb R\)，\(\beta\in\mathbb R\)。如果 \(\beta\) 是 \(A\) 的一个上界，并且不存在 \(\gamma\in\mathbb R\) 满足 \(\gamma<\beta\) 且 \(\gamma\) 也是 \(A\) 的一个上界，则称 \(\beta\) 为集合 \(A\) 的上确界，记作 \(\sup A\)。
容易验证上确界是唯一的。我们也可以对称地定义下界和下确界的概念，这里不再展开叙述。
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定理 5A.3.5（确界原理）：设非空集合 \(A\subseteq\mathbb R\)，若 \(A\) 有上界，则 \(A\) 有上确界。
证明：（同一法）设非空集合 \(A\subseteq\mathbb R\) 有上界。我们首先证明存在性，（构造性证明）考虑构造
\[\beta=\bigcup_{\alpha\in A}\alpha \]我们首先证明 \(\beta\) 是一个分割，
- \(\beta\) 显然为 \(\mathbb Q\) 的非空子集。由于 \(A\) 有上界，\(\beta\neq\mathbb Q\)；
- 设 \(r\in\beta,s\in\overline{\beta}\)，于是必然存在 \(\alpha\in A\)，满足 \(r\in\alpha\) 且 \(s\not\in\alpha\)，即 \(s\in\overline{\alpha}\)，故 \(r<s\)；
- 设 \(r\in\beta\)，于是存在 \(\alpha\in A\)，满足 \(r\in\alpha\)，因此存在 \(s\in\alpha\) 使得 \(r<s\)。
\(\beta\) 显然为 \(A\) 的一个上界，随后我们证明 \(\beta\) 是 \(A\) 的上确界。（反证法）假设 \(\gamma\) 为 \(A\) 的另一个上界，且 \(\gamma<\beta\)，则 \(\gamma\subsetneq\beta\)。根据真子集的定义，一定存在 \(a\in\beta,a\not\in\gamma\)。根据 \(\beta\) 的构造，一定存在一个 \(\alpha\in A\)，满足 \(a\in\alpha\)。故 \(\alpha\not\subset\gamma\)，根据实数的三岐性，有 \(\alpha>\gamma\)，与 \(\gamma\) 是 \(A\) 的上界矛盾，假设不成立。原命题得证。
对称地，如果非空集合 \(A\subseteq\mathbb R\) 有下界，则 \(A\) 有下确界，证明只需要把集合并改为集合交即可。下面是关于有理数与实数之间次序关系的两个结论，它们在后面将会经常被使用。
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命题 5A.3.6（嵌入基本定理）：设 \(\alpha\in\mathbb R,r\in\mathbb Q\)，那么 \(\alpha\leqslant r\iff r\in\overline{\alpha}\)。
证明：设 \(r\in\overline{\alpha}\)。根据分割的定义，对于任意 \(a\in\alpha\)，均有 \(a<r\)，根据有理数的嵌入的定义，有 \(a\in r\)，故 \(\alpha\subseteq r\)，即 \(\alpha\leqslant r\)。
另一方面，（逆否命题）假设 \(r\in\alpha\)，根据分割的定义，一定存在 \(a\in\alpha\)，满足 \(r<a\)，故 \(r\neq\alpha\)。根据 5A.2.2.1，对于任意有理数 \(x<r\)，均有 \(x\in\alpha\)，故 \(r\subsetneq\alpha\)，即 \(r<\alpha\)。
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推论 5A.3.7（有理数的稠密性）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) 且 \(\alpha<\beta\)，存在有理数 \(c\) 使得 \(\alpha<c<\beta\)。
证明：由于 \(\alpha<\beta\)，\(\alpha\subsetneq\beta\)，即存在 \(r\not\in\alpha\land r\in\beta\)。根据 5A.3.6，\(\alpha\leqslant r<\beta\)。另一方面，根据分割的定义，存在 \(s>r\land s\in\beta\)，即 \(\beta>s>r\geqslant\alpha\)。
5A.4 实数的加减运算
我们下面把有理数的四则运算拓展到实数系上。
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定义 5A.4.1（加法）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，定义 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的和为
\[\alpha+\beta=\left\{r+s:r\in\alpha,s\in\alpha\right\} \]证明：首先证明 \(\alpha+\beta\) 是一个分割。（构造性证明）任取 \(a\in\alpha,b\in\beta\)，根据定义有 \(a+b\in \mathbb \alpha+\beta\)，故 \(\alpha+\beta\) 非空。再任取 \(a'\in\overline{\alpha},b'\in\overline{\beta}\)，根据分割的定义有 \(a+b<a'+b'\)，故 \(a'+b'\not\in\alpha+\beta\)，即 \(\alpha+\beta\neq\mathbb Q\)。
设 \(r=a+b\in\alpha+\beta\)，其中 \(a\in\alpha,b\in\beta\)。（反证法）假设存在 \(s\in\overline{\alpha+\beta}\)，满足 \(s\leqslant r\)，则 \(s-a\leqslant b\)，即 \(s-a\in\beta\)，从而 \(s=(s-a)+b\in\alpha+\beta\)，矛盾，假设不成立。故对于任意 \(a\in\alpha+\beta,b\in\overline{\alpha+\beta}\)，都有 \(a<b\)。
设 \(r=a+b\in\alpha+\beta\)，其中 \(a\in\alpha,b\in\beta\)。由于 \(\alpha\) 是一个分割，一定存在 \(c\in\alpha\)，满足 \(c>a\)，则 \(c+b\in\alpha+\beta\)。综上所述，\(\alpha+\beta\) 确实是一个分割。
容易证明，有理数嵌入实数后的与实数的加法运算是相容的，即 \((r+s)^*=r^*+s^*\)。
实数的加法一样拥有有理数的运算律。根据定义，这很容易从有理数的运算律中直接推出。
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命题 5A.4.2（实数加法交换律）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，有 \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)。
证明：根据实数加法的定义和有理数的交换律可以推出。
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命题 5A.4.2（实数的加法结合律）：设 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\)，有 \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\)。
证明：根据实数加法的定义和有理数的结合律可以推出。
实数的加法和有理数的加法有相同的单位元（如果我们不区分 \(0\) 和 \(0^*\) 的话）。
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命题 5A.4.3（实数的加法单位元）：设 \(\alpha\in\mathbb R\)，\(\alpha+0=\alpha\)。
证明：对于任意 \(a\in\alpha,b\in0^*\)，根据定义有 \(b<0\)，故 \(a+b<a\)，因此 \(a+b\in\alpha\)。由此可见，\(\alpha+0\subseteq\alpha\)。另一方面，对于任意的 \(a\in\alpha\)，存在 \(a'\in\alpha\)，使得 \(a<a'\)，即 \(a-a'\in0\)，从而 \(a=a'+(a-a')\in\alpha+0\)，即 \(\alpha\subseteq\alpha+0\)。综上所述，\(\alpha+0=\alpha\)。
为了定义减法，我们首先定义加法逆元。然后就可以定义加上一个数的加法逆元即为减去这个数。
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定义 5A.4.4（加法逆元）：设 \(\alpha\in\mathbb R\)，定义 \(\alpha\) 的加法逆元为
\[-\alpha:=\left\{x\in\mathbb Q:-x>\alpha\right\} \]证明：首先证明 \(-\alpha\) 是一个分割，（构造性证明）任取 \(r\in\overline{\alpha}\)，根据 5A.3.6，有 \(\alpha<r+1\)，即 \(-r-1\in-\alpha\)，故 \(-\alpha\) 非空。任取 \(r\in\alpha\)，根据 5A.3.6，\(r<\alpha\)，故 \(-r\not\in-\alpha\)，即 \(-\alpha\neq\mathbb Q\)。
假设 \(a\in-\alpha,b\in\overline{-\alpha}\)，根据定义，有 \(-a>\alpha\)，且 \(-b\leqslant\alpha\)，根据序的传递性，有 \(-b<-a\)，即 \(a<b\)。
假设 \(r\in-\alpha\)，根据加法逆元的定义有 \(\alpha<-r\)。根据 5A.3.7，存在 \(\alpha<s<-r\)，故 \(-s\in-\alpha\) 且 \(r<-s\)。
现在我们论证 \(\alpha+(-\alpha)=0\)。一方面，对于任意 \(a\in\alpha,b\in-\alpha\)，由于 \(-b>\alpha,a<\alpha\)，有 \(-b>a\)，即 \(a+b\in0\)，故 \(\alpha+(-\alpha)\subseteq0\)。
另一方面，对于任意 \(t\in0\)，显然 \(-t/2>0\)。根据 5A.2.2.2，存在整数 \(n\)，使得 \(-nt/2\in\alpha\)，且 \(-(n+1)t/2\in\overline{\alpha}\)，根据 5A.3.6，\(\alpha\leqslant-(n+1)t/2\)，故 \(\alpha<-(n+2)t/2\)，即 \((n+2)t/2\in-\alpha\)，同时 \(t=-nt/2+(n+2)t/2\in\alpha+(-\alpha)\)，所以 \(0\subseteq\alpha+(-\alpha)\)。
综上所述，\(\alpha+(-\alpha)=0\)。
容易验证，我们定义的减法与有理数的减法是相容的。
- 定义 5A.4.5（减法）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，定义 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的差为 \(\alpha+(-\beta)\)，记作 \(\alpha-\beta\)。
我们应该更多地推广有理数所具有的性质。下面是关于加减法和大小关系的另一些结论。
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引理 5A.4.6（加法的非退化性）：设 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\)，那么 \(\alpha=\beta\iff\alpha+\gamma=\beta+\gamma\)。
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推论 5A.4.7（加法逆元的唯一性）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，那么 \(\alpha+\beta=0\iff\beta=-\alpha\)。
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命题 5A.4.8（加法保序）：设 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\)，那么 \(\alpha<\beta\iff\alpha+\gamma<\beta+\gamma\)。
证明：根据 5A.3.7，存在有理数 \(r\)，满足 \(\alpha<r<\beta\)，即 \(r\not\in\alpha\land r\in\beta\)。设 \(a+b\in\alpha+\gamma\)，其中 \(a\in\alpha,b\in\gamma\)。根据分割的定义知，\(a<r\)，即 \(a+b<r+b\in\beta+\gamma\)，所以 \(\alpha+\gamma\subseteq\beta+\gamma\)。即 \(\alpha+\gamma\leqslant\beta+\gamma\)，另一方面，根据 5A.4.6，等号始终不成立，故 \(\alpha+\gamma<\beta+\gamma\)。
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命题 5A.4.9（绝对值原理）：设 \(\alpha\in\mathbb R,\alpha\neq0\)，那么 \(\alpha>0\) 和 \(-\alpha>0\) 中恰好有一个成立，换而言之，\(\alpha>0\iff-\alpha<0\)。
5A.5 实数的乘法运算
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定义 5A.5.1（乘法）：乘法是分段定义的。设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)。定义 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的积为
\[\alpha\times \beta=\begin{cases}0&\alpha=0\lor\beta=0\\\left\{r\in\mathbb Q:\exists_{0<a<\alpha,0<b<\beta}r<ab\right\}&\alpha,\beta>0\\(-\alpha)\times(-\beta)&\alpha,\beta<0\\-((-\alpha)\times\beta)&\alpha<0\land\beta>0\\-(\alpha\times(-\beta))&\alpha>0\land\beta<0\end{cases} \]在合理的情况下，我们通常省略 \(\times\)，直接写作 \(\alpha\beta\)。
证明：通过 5A.4.9，我们知道每对 \(\alpha,\beta\) 满足且恰好满足上述条件中的一个。首先证明当 \(\alpha,\beta>0\) 时 \(\alpha\beta\) 是一个分割。（构造性证明）任取 \(0<a<\alpha,0<b<\beta\)，有 \(ab-1\in\alpha\beta\)，故 \(\alpha\beta\) 非空。任取 \(a\in\overline{\alpha},b\in\overline{\beta}\)，有 \(ab\not\in\alpha\beta\)，故 \(\alpha\beta\neq\mathbb Q\)。
设 \(r\in\alpha\beta,s\in\overline{\alpha\beta}\)，根据定义，存在 \(a\in\alpha,b\in\beta\)，使得 \(r<ab\)，且 \(s>ab\)，故 \(r<s\)。根据 5A.3.7，一定存在有理数 \(t\)，满足 \(r<t<ab\)，即 \(t\in\alpha\beta\) 且 \(t>r\)。
然后我们证明实数的乘法运算与有理数是相容的。设 \(r,s\in\mathbb Q\)，这里只给出 \(r,s>0\) 的证明，因为其他情况是容易验证的。根据定义，
\[\begin{aligned}r^*s^*&=\left\{p\in\mathbb Q:\exist_{0<r'<r^*,0<s'<s^*}p<r's'\right\}\\&=\left\{p\in\mathbb Q:\exist_{0<r'<r,0<s'<s}p<r's'\right\}\\&=\left\{p\in\mathbb Q:p<rs\right\}=(rs)^*\end{aligned} \]
有理数的运算律可以推广到实数上，即实数的乘法运算具有以下性质：
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命题 5A.5.2（乘法交换律）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，有 \(\alpha\beta=\beta\alpha\)。
证明：可以由有理数的乘法交换律直接推出。
-
命题 5A.5.3（乘法结合律）：设 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\)，有 \(\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma\)。
证明：可以由有理数的乘法结合律直接推出。
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命题 5A.5.4（乘法单位元）：设 \(\alpha\in\mathbb R\)，有 \(\alpha1=1\alpha=\alpha\)。
证明：这里只给出 \(\alpha>0\) 的证明，其余情况是容易验证的。根据定义，有
\[\begin{aligned}\alpha1&=\left\{p\in\mathbb Q:\exists_{0<a<\alpha,0<b<1},p<ab\right\}\\&=\left\{p\in\mathbb Q:\exists_{0<a<\alpha}p<a\right\}\\&=\left\{p\in\mathbb Q:p<\alpha\right\}=\alpha\end{aligned} \] -
命题 5A.5.5（乘法分配律）：设 \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\)，那么 \(\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma\)。
我们还可以将有理数上的除法推广到实数上，为此我们首先定义乘法逆元。
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命题 5A.5.6（乘法逆元）：设 \(\alpha\in\mathbb R,\alpha\neq0\)，恰好存在一个实数 \(\beta\in\mathbb R\)，满足 \(\alpha\beta=1\)，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的乘法逆元，记作 \(\alpha^{-1}\)。并且有 \(\alpha>0\iff\alpha^{-1}>0\)。
证明：我们还是只给出 \(\alpha>0\) 的证明，其余情况是相当显然的。（同一法）我们首先证明存在性，构造
\[\beta:=\left\{p\in\mathbb Q:\exists_{r\geqslant\alpha}p<r^{-1}\right\} \]我们来验证 \(\beta\) 确实是一个分割。（构造性证明）任取 \(r\in\overline{\alpha}\)，根据 5A.3.6，有 \(r\geqslant\alpha\)，根据定义有 \(r^{-1}-1\in\beta\)，故 \(\beta\) 不是空集。另一方面，任取 \(0<r<\alpha\)，因此对于任意 \(r'\geqslant\alpha\)，有 \(r^{-1}>r'^{-1}\)，即 \(r^{-1}\not\in\beta\)，故 \(\beta\neq\mathbb Q\)。
设 \(a\in\beta,b\in\overline{\beta}\)，那么根据 \(\beta\) 的定义，结合 5A.3.6，我们有 \(\forall_{r\in\overline{\alpha}}b\geqslant r^{-1}\)，同时 \(\exists_{r\in\overline{\alpha}}a<r^{-1}\)。联立得到 \(a<r^{-1}\leqslant b\)，根据大小关系的传递性，得到 \(a<b\)。
设 \(a\in\beta\)，根据定义存在 \(r\in\mathbb Q,r\geqslant\alpha\)，使得 \(a<r^{-1}\)。根据 5A.3.7，一定存在有理数 \(s\)，满足 \(a<s<r^{-1}\)，即 \(s\in\beta\) 且 \(s>a\)。
我们现在证明 \(\beta>0\) 成立。（构造性证明）任取有理数 \(r\geqslant\alpha>0\)，根据有理数的性质，有 \(r^{-1}>0\)，根据 5A.3.7，存在有理数 s，满足 \(0<s<r^{-1}\)，故 \(s\in\beta\) 但是 \(s\not\in0\)。这表明 \(\beta\nsubseteq0\)，根据 5A.3.2.3，一定有 \(\beta>0\)。
我们现在验证 \(\beta\) 确实是 \(\alpha\) 的乘法逆元，即 \(\alpha\beta=1\)。注意到 \(\alpha,\beta>0\)，设 \(p\in\alpha\beta\)，根据定义，存在 \(0<a<\alpha\leqslant r\)，满足 \(p<ar^{-1}\)，故 \(p<1\)，即 \(\alpha\beta\subseteq1\)。设有理数 \(s<1\)，根据定义 \(s<0\) 时显然有 \(s\in\alpha\beta\)。存在有理数 \(t\)，满足 \(s<t<1\)，存在有理数 \(a\)，满足 \(t\alpha<a<\alpha\)，因此 \(at^{-1}>t\alpha t^{-1}>\alpha\)，同时我们有 \(s<t<aa^{-1}t<a(at^{-1})^{-1}\)，所以 \(s\in\alpha\beta\)，即 \(1\subseteq\alpha\beta\)。综上所述，\(\alpha\beta=1\)。
考虑到对于任意的实数 \(\alpha,\beta,\gamma\)，均有 \(\alpha=\beta\iff\alpha\gamma=\beta\gamma\)。故乘法逆元是唯一的。
由此，我们就可以定义除法。
- 定义 5A.5.7（除法）：设 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，其中 \(\alpha\neq0\)，定义 \(\alpha\) 除 \(\beta\) 的商为 \(\alpha^{-1}\beta\)，记作 \(\beta/\alpha\)。