2021 年 4 月，全国青少年信息学奥林匹克竞赛大纲在 NOI 官网发布。为方便大家的查阅和收藏，把大纲的入门级、提高级和 NOI 级的数学部分整理了出来。
入门级数学
1.数及其运算
•【1】数的概念，算术运算（加、减、乘、除、求余）
•【1】数的进制：二进制、八进制、十六进制和十进制及其转换
•【2】编码：ASCII 码，哈夫曼编码，格雷码
2.初中数学
•【1】初中代数
•【1】初中平面几何
3.初等数论
•【3】整除、因数、倍数、指数、质数、合数、同余等概念
•【3】唯一分解定理
•【3】欧几里得算法（辗转相除法）
•【4】埃氏筛法和线性筛法求素数
4.组合数学
•【2】加法原理
•【2】乘法原理
•【4】排列及计算公式
•【4】组合及计算公式
•【4】杨辉三角公式
提高级数学
1.高中数学
•【5】代数
•【6】解析几何
•【6】立体几何
2.初等数论
•【5】同余式
•【7】欧拉定理和欧拉函数
•【7】费马小定理
•【7】威尔逊定理
•【7】裴蜀定理
•【7】逆元
•【7】扩展欧几里得算法
•【7】孙子定理（即中国剩余定理）
3.组合数学
•【6】可重集排列
•【6】可重集组合
•【6】错排列、圆排列
•【6】鸽巢原理
•【6】二项式定理
•【7】容斥原理
•【7】卡特兰数
4.线性代数
•【5】矩阵概念
•【6】特殊矩阵：稀疏矩阵，三角矩阵，对称矩阵
•【6】矩阵的初等变换
•【6】矩阵的加减乘和转置运算
•【7】线性方程组的高斯消元法
NOI级数学
1.信息论基础
•【10】熵、互信息、条件熵、相对熵的基本概念
•【10】信息复杂度的基本概念
•【10】描述复杂度的基本概念
•【10】通讯复杂度的基本概念
2.初等数论
•【8】原根和指数
•【8】大步小步（Baby Step Giant Step，BSGS）算法
•【9】完全数
•【9】狄利克雷（Dirichlet）卷积
•【10】平方剩余
•【10】二次同余式
•【10】二次互反律
3.离散数学
•【9】代数系统的基本概念
•【9】群的基本概念
•【9】置换群与循环群
4.组合数学
•【9】母函数
•【9】莫比乌斯变换
•【9】Burnside 引理与 Pólya 原理
•【9】斯特林数
5.高等数学
•【9】多项式函数微分
•【9】多项式函数积分
•【10】泰勒级数
•【10】快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）
•【10】卷积
6.线性代数
•【9】矩阵的逆运算
•【9】行列式及其运算
•【9】线性相关与矩阵的逆
7.概率论
•【8】概率相关概念
•【9】求概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式
8.博弈论
•【9】零和博弈问题——Nim 博弈等
•【9】Sprague-Garundy（SG）函数概念及应用
9.运筹学
•【10】线性规划之单纯形法
10.计算几何
•【7】矢量及其运算
•【8】点、线、面之间的位置判断
•【8】常见图形的面积计算
•【8】二维凸包的求及其应用
•【9】半平面交