\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)
必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
正弦函数的图象
解释
(1) 画正弦函数\(y=\sin x\)在\(x∈[0,2π]\)的图象
如下图，在直角坐标系中画出以原点\(O\)为圆心的单位圆，\(⊙O\)与\(x\)轴正半轴的交点为\(A(1,0)\)，在单位圆上，将点\(A\)绕着点\(O\)旋转\(x_0\)弧度至点\(B\)，根据正弦函数的定义，点\(B\)的纵坐标\(y_0=\sin x_0\).由此，以\(x_0\)为横坐标，\(y_0\)为纵坐标画点，即得到函数图象上的点\(T(x_0,\sin x_0 )\).
若把\(x\)轴上从\(0\)到\(2π\)这一段分成\(12\)等份, 使\(x_0\)的值分别为\(0\), \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{2}\),⋯,\(2π\)，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周\(12\)等分, 再按上述画点\(T(x_0,\sin x_0 )\)的方法, 就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
若使\(x_0\)区间 \([0,2π]\)上取到足够多的值而画出足够多的点\(T(x_0,\sin x_0 )\), 将这些点用光滑的曲线连接起来, 可得到比较精确的函数\(y=\sin x\),\(x∈[0,2π]\)的图象.
由于诱导公式\(\sin (x+2kπ)=\sin x (k∈Z)\)，即把函数\(y=\sin x\),\(x∈[0,2π]\)的图象不断向左右平移(每次平移\(2π\)个单位长度)，就可得到正弦函数\(y=\sin x\),\(x∈R\)的图象.
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
余弦函数的图象
解释
由诱导公式可知\(y=\cos x=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)，即余弦函数的图象可视为正弦函数向左平移\(\dfrac{\pi}{2}\)个单位长度得到，如下图.
余弦函数\(y=\cos x\),\(x∈R\)的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
基本方法
【题型1】 五点画法
【典题1】 画出下列函数的简图
(1) \(y=\sin x-1\)，\(x∈[0,2π]\)；\(\qquad \qquad\) (2) \(y=-\cos x\) ，\(x∈[0,2π]\).
解析 (1)按五个关键点列表得
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\sin x-1\) | \(-1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-1\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来.
(2) 按五个关键点列表得
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(-\cos x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
点拨 \(y=\sin x-1\),\(x∈[0,2π]\)的图象由\(y=\sin x\),\(x∈[0,2π]\)的图象向下平移一个单位长度，\(y=-\cos x\) ,\(x∈[0,2π]\)的图象由\(y=\cos x\),\(x∈[0,2π]\)的图象作关于\(x\)轴作对称.
【巩固练习】
1.画出下列函数的简图
(1) \(y=-\sin x\)，\(x∈[0,2π]\) \(\qquad \qquad\) (2)\(y=\cos x+1\)，\(x∈[-π,π]\)
参考答案
- 解析 (1)按五个关键点列表得
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(-\sin x\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
(2) 按五个关键点列表得
| \(x\) | \(-\pi\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\cos x+1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
【题型2】 函数图象变换
【典题1】 画函数\(y=|\cos x |\)的简图.
解析 函数\(y=|\cos x |\)的图象可以看成是将函数\(y=\cos x\)的图象\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方的图象作关于\(x\)轴对称，其图象如下图，
点拨 \(y=f(x) \stackrel{x \text { 轴上方图象不变, } x \text { 轴下方图象作关于 } x \text { 对称 }}{\longrightarrow} y=|f(x)|\).
【典题2】 画函数\(y=\sin |x|-2\)的简图.
解析 删去函数\(y=\sin x\)在\(y\)轴左边图象，右边图象不变，再作关于\(y\)轴对称得到函数\(y=\sin |x|\)的图象，再将图象向下平移\(2\)个单位长度，得到函数\(y=\sin |x|-2\)图象如下图，
点拨 \(y=f(x) \stackrel{\text { 删去 } y \text { 轴左边图象, } y \text { 轴右边不变, 再作关于y轴对称 }}{\longrightarrow} y=f(|x|)\).
【典题3】 画函数\(y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|+1\)的简图.
解析 将函数\(y=\sin x\)向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位长度得到\(y=\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)的图象，再将其图象\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方图象作关于\(x\)轴对称得到\(y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|\)的图象，最后再向上平移一个单位长度得到函数\(y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|+1\)的图象.
⇒ 
⇒ 
⇒ 
【巩固练习】
1.画函数\(y=|\sin x |\)的简图.
2.画函数\(y=\cos \left|x-\dfrac{\pi}{4} \right|\)的简图.
3.画函数\(y=1-\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的简图.
参考答案
-
解析 函数\(y=|\sin x |\)的图象可以看成是将函数\(y=\sin x\)的图象在\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方的图象作关于\(x\)轴对称，其图象如下图，
-
解析 函数\(y=\cos |x|\)的图象与函数\(y=\cos x\)的图象一样，再将图象向右平移\(\dfrac{\pi}{4}\)个单位长度，其图象如下图，
-
解析 将函数\(y=\cos x\)向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位长度得到\(y=\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right)\)的图象，再将图象\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方图象作关于\(x\)轴对称得到\(y=\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的图象，再将图象关于\(x\)轴对称，最后再向上平移\(1\)个单位长度得到函数\(y=1-\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的图象.
【题型3】 函数图象的应用
【典题1】 方程\(\cos x=\lgx\)的实根的个数是( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) $\qquad \qquad \qquad \qquad $ C．\(3\) $\qquad \qquad \qquad \qquad $ D．无数
解析 方程 \(\cos x=\lgx\)的实根的个数，即函数\(y=\cos x\)的图象和\(y=\lgx\)的图象的交点个数，
数形结合可得函数\(y=\cos x\)的图象和 \(y=\lgx\)的图象的交点个数为3，
故选：\(C\)．
点拨 方程与函数的关系，方程\(f(x)=g(x)\)解的问题可转化为函数\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)的图象交点问题.多数形结合，要注意一些特殊点.
【典题2】 函数\(f(x)=\cos (π-x)⋅\lg|x|\)在区间\(\left[-\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{\pi}{2} \right]\)内的图象是( )
A．
\(\qquad \qquad\) B． 
C．
\(\qquad \qquad\) D． 
解析 \(∵\)函数\(f(x)=\cos (π-x)⋅\lg|x|=-\cos x⋅\lg|x|\)
\(∴f(-x)=-\cos (-x)⋅\lg|-x|=-\cos x⋅\lg|x|=f(x)\)
\(∴\)函数\(f(x)\)为偶函数，排除\(B\),\(D\)
\(∵f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\cos \dfrac{1}{2}⋅lg\left|\dfrac{1}{2}\right|>0\)，排除\(C\),
故选：\(A\)．
点拨 已知函数解析式，判断函数图象，多采取排除法，比如代入特殊点，利用函数的定义域、奇偶性、正负性等等.
【巩固练习】
1.函数\(y=1+\cos x\)的图象( )
A．关于\(x\)轴对称 \(\qquad \qquad\) B．关于\(y\)轴对称 \(\qquad \qquad\) C．关于原点对称 \(\qquad \qquad\) D．关于直线\(x=\dfrac{\pi}{2}\)对称
2.若\(\sin x=2m+3\)，且\(x∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{\pi}{6}\right ]\)，则\(m\)的取值范围是( )
A．\(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left[-\dfrac{5}{4},-\dfrac{1}{2}\right]\) \(\qquad \qquad\) C．\(\left[-\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4}\right]\) \(\qquad \qquad\) D．\(\left[-\dfrac{7}{4},\dfrac{1}{2}\right]\)
3.方程\(|x|=\cos x\)在\((-∞,+∞)\)内 ( )
A. 没有根 \(\qquad \qquad\) B. 有且仅有一个根 \(\qquad \qquad\) C. 有且仅有两个根 \(\qquad \qquad\) D.有无穷多个根
4.在\([0,2π]\)内满足 \(\sin x \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)的\(x\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\)余弦函数\(y=\cos x\)是偶函数,
\(∴\)函数\(y=1+\cos x\)是偶函数，故关于\(y\)轴对称，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 由正弦函数\(y=\sin x\)的图象可知在\(\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{\pi}{6}\right ]\)上递增，则\(\sin x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)，
\(∴2m+3∈\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)，\(∴m∈\left[-\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4}\right]\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 方程\(|x|=\cos x\)在\((-∞,+∞)\)内根的个数，就是函数\(y=|x|\)，\(y=\cos x\)在\((-∞,+∞)\)内交点的个数，如图，可知只有\(2\)个交点，故选\(C\).
-
答案 \(\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)
解析 \(∵\)当\(x∈[0,2π]\)时， \(\sin \dfrac{\pi}{4}=\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，结合正弦函数的图象可得\(x∈\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)，
故答案为 \(\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.对于正弦函数\(y=\sin x\)的图象，下列说法错误的是( )
A．图象过点\((6π,0)\) \(\qquad \qquad\) B．与\(y=\cos x\)的图象形状相同，只是位置不同
C．与\(y\)轴只有\(1\)个交点 \(\qquad \qquad\) D．关于\(y\)轴对称
2.函数\(y=\cos x-2\)在\(x∈[-π,π]\)上的大致图象是( )
A．
B．
C．
D． 
3.下列关于函数\(f(x)=\sin |x|\)和函数\(g(x)=|\sin x|\)的结论，正确的是( )
A．\(f(x)⩾0\) \(\qquad \qquad\) B．\(f(x+2π)=f(x)\) \(\qquad \qquad\) C．\(g(x)\)值域是\([-1,1]\) \(\qquad \qquad\) D．\(g(x+π)=g(x)\)
4.下列区间是函数\(y=2|\cos x|\)的单调递减区间的是( )
A．\((0,π)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((-\dfrac{\pi}{2} ,0)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\((\dfrac{3\pi}{2} ,2π)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\((-π,-\dfrac{\pi}{2} )\)
5.关于三角函数的图象，有下列说法：
①\(y=\sin |x|\)与\(y=\sin x\)的图象关于\(y\)轴对称；
②\(y=\cos (-x)\)与\(y=\cos |x|\)的图象相同；
③\(y=|\sin x|\)与\(y=\sin (-x)\)的图象关于\(x\)轴对称；
④\(y=\cos x\)与\(y=\cos (-x)\)的图象关于\(y\)轴对称．
其中正确的序号是( )
A．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．②④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．①④
6.函数 \(f(x)=\cos x \cdot \ln \dfrac{\pi+x}{\pi-x}\)在\((-π,π)\)上的图象大致为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
7.当 \(x \in[0,2 \pi]\)时，满足\(2\cos x-1<0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) ．
8.不等式\(\cos x<0\), \(x \in[0,2 \pi]\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.画出下列函数的简图
(1) \(y=2-\sin x\)，\(x∈[0,2π]\) \(\qquad \qquad\) (2) \(y=1-\cos x\) ，\(x∈\left[-\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right]\)
10.画函数\(y=-\cos x\)的简图.
11.画函数\(y=\sin \left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|\)的简图.
12.画函数\(y=\sin \left(|x|+\dfrac{\pi}{4} \right)\)的简图.
13.画函数\(y=1-\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的简图.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 对于\(A\)，由\(\sin 6π=0\)，可知选项\(A\)正确；
对于\(B\)，\(y=\cos x\)的图象相当于\(y=\sin x\)的图象向左移动了\(\dfrac{\pi}{2}\)个单位，选项\(B\)正确；
对于\(C\)，由正弦函数的图象可知，其与 轴仅有一个交点\((0,0)\)，选项\(C\)正确；
对于\(D\)，函数\(y=\sin x\)为奇函数，图象关于原点对称，选项\(D\)错误．
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 函数\(y=\cos x-2\)在\(x∈[-π,π]\)上的图象是余弦函数\(y=\cos x\)在\(x∈[-π,π]\)上的图象向下平移\(2\)个单位，所以函数\(y=\cos x-2\)在\(x∈[-π,π]\)上的大致图象是\(A\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 \(f(x)=\sin |x|= \begin{cases}\sin x, & x \geqslant 0 \\ -\sin x, & x<0\end{cases}\)，函数\(f(x)∈[-1,1]\)，\(f(x)\)是偶函数，不具备周期性，故\(A\),\(B\)错误，
\(g(x)=|\sin x|⩾0\)，即函数\(g(x)\)的值域是\([0,1]\)，故\(C\)错误，
\(g(x+π)=|\sin (x+π)|=|-\sin x|=|\sin x|=g(x)\)，故\(D\)正确，
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 结合函数\(y=2|\cos x|\)的图象可选项\(D\)正确，故选：\(D\)．
-
答案 \(B\)
解析 ① \(y=\sin |x|=\left\{\begin{array}{l} \sin x, \quad x \geqslant 0 \\ -\sin x, x<0 \end{array}\right.\)，则\(y=\sin |x|\)与\(y=\sin x\)的图象关于\(y\)轴不对称，
故①错误，
②\(y=\cos (-x)=\cos x\),\(y=\cos |x|=\cos x\)，即\(y=\cos (-x)\)与\(y=\cos |x|\)的图象相同；故②正确，
③\(f(-x)=|\sin (-x)|=|\sin x|\)，\(y=\sin (-x)=-\sin x\)，则\(y=|\sin x|\)与\(y=\sin (-x)\)的图象关于\(x\)轴不对称，故③错误；
④\(y=\cos (-x)=\cos x\)，则\(y=\cos x\)与\(y=\cos (-x)\)的图象相同，且是偶函数，即两个函数图象关于\(y\)轴对称，故④正确，
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 因为 \(f(-x)=\cos x \cdot \ln \dfrac{\pi-x}{\pi+x}=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，排除\(A\),\(D\)，
当\(x∈(0,\dfrac{\pi}{2})\)时，\(\cos x>0\)， \(\ln \dfrac{\pi-x}{\pi+x}>0\)，所以\(f(x)>0\)，排除\(C\)，
故选\(B\). -
答案 \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]\)
解析 方程\(2\cos x-1<0\)可化为\(\cos x<\dfrac{1}{2}\) ，
\(∵\)当 \(x \in[0,2 \pi]\)时， \(\cos \dfrac{\pi}{3}=\cos \dfrac{5 \pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)，
结合余弦函数的图象可得\(x∈\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]\)，
故答案 为： \(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]\)． -
答案 \(\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)\)
解析 由函数\(y=\cos x\), \(x \in[0,2 \pi]\)的图象可得原不等式的解集为 \(\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)\)．
故答案 为： \(\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)\)． -
解析 (1)按五个关键点列表得
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| ---------- | ---- | --------------- | ----- | ---------------- | ------ |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(2-\sin x\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(2\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
(2) 按五个关键点列表得
| \(x\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(1-\cos x\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
-
解析 函数\(y=-\cos x\)的图象可以看成是将函数\(y=\cos x\)的图象作关于\(x\)轴对称，其图象如下图，
-
解析 将函数\(y=\sin x\)的图象\(y\)轴左边删除，\(y\)轴右边不变，再作关于\(y\)轴对称得到函数\(y=\sin |x|\)的图象，再向左平移\(\dfrac{\pi}{4}\)个单位长度得到函数\(y=\sin \left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|\)的图象，其图象如下图，
-
解析 将函数\(y=\sin x\)的图向左平移\(\dfrac{\pi}{4}\)个单位长度得到函数\(y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)\)的图象，再将\(y\)轴左边图象删除，\(y\)轴右边图象不变，再作关于\(y\)轴对称得到函数\(y=\sin \left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|\)的图象，其图象如下图，
-
解析 将函数\(y=\cos x\)向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位长度得到\(y= \cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right)\)的图象，再将图象\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方图象作关于\(x\)轴对称得到\(y=\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的图象，再将图象关于\(x\)轴对称，最后再向上平移\(1\)个单位长度得到函数\(y=1-\left|\cos \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|\)的图象.
【B组---提高题】
1.下列四个函数中，以\(π\)为最小正周期，且在区间\(\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)\)上为减函数的是( )
A．\(y=2|\sin x|\) B．\(y=\cos x\) C．\(y=\sin 2x\) D．\(y=|\cos x|\)
2.(多选)已知函数\(f(x)=|\cos x|+\cos |x|\)，则下列结论正确的是( )
A．\(f(x)\)是周期函数 \(\qquad \qquad\) B．\(f(x)\)在\([0,π]\)上单调递减
\(\qquad \qquad\) C．\(f(x)\)是奇函数 \(\qquad \qquad\) D．\(f(x)\)的图象关于直线\(x=π\)对称
3.关于函数 \(f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}\)有如下四个命题
①\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称；
②\(f(x)\)的图象关于原点对称；
③\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\dfrac{\pi}{2}\)对称；
④\(f(x)\)的最小值为\(2\).
其中所有真命题的序号是 .
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 满足\(π\)为最小正周期，且在区间\(\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)\)上为减函数：
对于\(A\)：\(y=2|\sin x|\)的图象是把\(y=2\sin x\)的图象\(x\)轴下方翻折得到的，周期为\(π\)，在区间\(\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)\)上为减函数，\(∴A\)对；
对于\(B\):\(y=\cos x\)的周期为\(2π\)，\(∴B\)不对；
对于\(C\):\(y=\sin 2x\)的周期为\(π\)，在\(\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{4} \right)\)上为减函数，\(\left(\dfrac{3\pi}{4} ,π \right)\)上为增函数，\(∴C\)不对．
对于\(D:y=|\cos x|\)的图象是把\(y=\cos x\)的图象\(x\)轴下方翻折得到的，周期为\(π\)，在区间\(\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)\)上为增函数，\(∴D\)对；
故选：\(A\)． -
答案 \(AD\)
解析 因为\(f(x+2π)=|\cos (x+2π)|+\cos |x+2π|=|\cos x|+\cos |x|=f(x)\)，
所以\(2π\)是函数\(f(x)\)的一个周期，即函数\(f(x)\)是周期函数；所以\(A\)正确；
\(B\)项，当\(x∈\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)\)时，\(f(x)=|\cos x|+\cos |x|=-\cos x+\cos x=0\)，
此时\(f(x)\)为常函数，不单调，所以B不正确；
\(C\)项，因为\(f(-x)=|\cos (-x)|+\cos |-x|=|\cos x|+\cos |x|=f(x)\)是偶函数，
所以\(C\)不正确；
\(D\)项，因为\(f(π+x)-f(π-x)=|\cos (π+x)|+\cos |π+x|-\cos |(π-x)|-\cos |π-x|\)
\(=|\cos x|+\cos |π+x|-|\cos x|-\cos |π-x|\)
\(=\cos |π+x|-\cos |π-x|\)
\(=-\cos x-(-\cos x)=0\)，
所以\(∀x∈R\),\(f(π+x)=f(π-x)\)，
所以\(f(x)\)的图象关于直线\(x=π\)对称，所以\(D\)正确，
故选：\(AD\)． -
答案 ②③.
解析 对于命题①， \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}\)， \(f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\)，
则 \(f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \neq f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)；
所以\(f(x)\)的图象不关于\(y\)轴对称，所以命题①错误；
对于命题②，函数的定义域\(\{x∣x≠kπ,k∈Z\}\)，定义域关于原点对称，
\(f(-x)=\sin (-x)+\dfrac{1}{\sin (-x)}=-\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=-\left(\sin x+\dfrac{1}{\sin x}\right)=-f(x)\)，
所以的图象关于原点对称，所以命题②正确；
对于命题③， \(\because f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\dfrac{1}{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}\)，
所以的图象关于直线\(x=\dfrac{\pi}{2}\)对称，所以命题③正确；
对于命题④，当\(-π<x<0\)时，\(\sin x<0\)，则 \(f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}<0<2\)，
所以命题④错误；
故答案 为②③.
【C组---拓展题】
1.设函数\(f(x)=\sin x\),\(x∈[a,b]\)，值域为\(\left[-1, \dfrac{1}{2}\right]\)，则以下结论错误的是( )
A．\(b-a\)的最小值为\(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\qquad \qquad\) B．\(a\)不可能等于\(2kπ-\dfrac{\pi}{6}\) ,\(k∈Z\)
\(\qquad \qquad\) C．\(b-a\)的最大值为\(\dfrac{4\pi}{3}\) \(\qquad \qquad\) D．\(b\)不可能等于\(2kπ-\dfrac{\pi}{6}\) , \(k∈Z\)
2.画函数\(y=1-2|\cos (x+\dfrac{\pi}{4} ) |\)的简图.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 若\(a=2kπ-\dfrac{\pi}{2}\),\(b=2kπ+\dfrac{\pi}{6}\),\(k∈Z\)，则\(b-a\)取最小值为\(\dfrac{2\pi}{3}\) ，\(A\)对，
若\(a=2kπ-\dfrac{5\pi}{6}\) ,\(b=2kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，则\(b-a\)取最大值为\(\dfrac{4\pi}{3}\)，\(C\)对，
若\(a=2kπ-\dfrac{\pi}{6}\),\(k∈Z\)，则\(\sin a=- \dfrac{1}{2}\)，若存在\(x∈[a,b]\)，使\(f(x)=-1\)，
则存在\(x∈[a,b]\)，使\(f(x)=1\)，与值域矛盾，
则\(a\)不可能等于\(2kπ-\dfrac{\pi}{6}\) ,\(k∈Z\)，\(B\)对，
若\(a=-\dfrac{7\pi}{6} ,b=-\dfrac{\pi}{6}\) ，则值域为 \(\left[-1, \dfrac{1}{2}\right]\)，则\(D\)错，
故选：\(D\)． -
解析 将函数\(y=\cos x\)向左平移\(\dfrac{\pi}{4}\)个单位长度得到\(y=\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)\)的图象，再将图象\(x\)轴上方保持不变，\(x\)轴下方图象作关于\(x\)轴对称得到\(y=\left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|\)的图象，横坐标\(x\)不变纵坐标\(y\)扩大\(2\)倍，得到\(y=2 \left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|\)，再将图象作关于\(x\)轴对称得到\(y=-2\left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|\)的图象，最后向上平移\(1\)个单位长度得到函数\(y=1-2\left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|\)的图象，其图象如下图，
