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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
同角三角函数基本关系式
\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\) \(\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
解释
由三角函数的定义，如下图，\(α\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，
可知\(\sin α=y\)，\(\cos α=x\)， \(\tan \alpha=\frac{y}{x}=(x \neq 0)\).
过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴，在\(Rt∆PHO\)中，\(OH^2+PH^2=OP^2=1\)，
因此\(x^2+y^2=1\)，即\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\)，
当\(α≠π/2+kπ(k∈Z)\)时， \(\tan \alpha=\frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
拓展
\((\sin α+\cos α)^2=1+2 \sin α \cdot \cos α\)； \((\sin α-\cos α)^2=1-2 \sin α \cdot \cos α\).
基本方法
【题型1】利用三角函数基本关系式求值
【典题1】 已知\(α∈(0,π)\)，\(\tan α=-2\)，则\(\cos α=\) \(\underline{\quad \quad}\).
解析 方法1 \(∵\tan α=-2\)， \(\therefore \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-2\)，即\(\sin α=-2\cos α\)，
又 \(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \Rightarrow \cos \alpha=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\)，
\(∵α∈(0，π)\)，且\(\tan α=-2<0\)，
\(∴α\)为第二象限角，\(∴\cos α<0\)，
\(∴\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}\).
方法2 \(∵\tan α=-2\)，构造直角三角形\(Rt△ABC\)如下图，
在直角三角形中， \(\cos \alpha=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)，
\(∵α∈(0，π)\)，且\(\tan α=-2<0\)，
\(∴α\)为第二象限角，
\(∴\cos α<0\)， \(∴\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}\).
点拨
① 若知\(\sin α\)、\(\cos α\)、\(\tan α\)三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”；
② 在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号.
【典题2】 已知\(\tan α=-2\)，求下列各式的值：
(1) \(\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}\)； (2) \(\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha\).
解析 方法1 由\(\tan α=-2\)，得\(\sin α=-2\cos α\)．
(1) \(\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}=\frac{-8 \cos \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha-6 \cos \alpha}=10\)．
(2) \(\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha=\frac{\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=\frac{\cos ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha}{4 \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=\frac{7}{25}\)．
方法2 \(∵\tan α=-2\)，\(∴\cos α≠0\)．
(1) \(\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}=\frac{4 \tan \alpha-2}{5+3 \tan \alpha}=\frac{4 \times(-2)-2}{5+3 \times(-2)}=10\)．
(2) \(\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha=\frac{\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha+\frac{2}{5} \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=\frac{\frac{1}{\tan ^2 \alpha+\frac{2}{5}}}{\tan ^2 \alpha+1}=\frac{7}{25}\)．
点拨 方法2 中当分式\(\frac{f(x)}{g(x)}\)中\(f(x)\)、\(g(x)\)关于\(\cos α\)、\(\sin α\)的“齐次化式”，分子分母同除以\(\cos α\)或\(\sin α\).第(2)问中巧妙的使用了\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\).
【典题3】 已知 \(\sin \alpha+\cos \alpha=-\frac{1}{5}\)．
(1)求\(\sin α\cdot \cos α\)的值；
(2)若\(\frac{π}{2}<α<π\)，求\(\frac{1}{\sin \alpha}-\frac{1}{\cos (2 \pi+\alpha)}\)的值．
解析 (1)\(∵\sin \alpha+\cos \alpha=-\frac{1}{5}\) ①， \(\therefore(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\frac{1}{25}\)，
即\(1+2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{25}\)， \(\therefore \sin \alpha \cdot \cos \alpha=-\frac{12}{25}\) ，
(2)由(1)得，\((\sin \alpha-\cos \alpha)^2=1-2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{49}{25}\)，
又 \(\frac{π}{2}<α<π\)，\(∴\sin α-\cos α>0\)，
\(\therefore \sin \alpha-\cos \alpha=\frac{7}{5}\) ②．
\(\therefore \frac{1}{\sin \alpha}-\frac{1}{\cos (2 \pi+\alpha)}=\frac{1}{\sin \alpha}-\frac{1}{\cos \alpha}=\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{35}{12}\) .
点拨
① \((\sin α+\cos α)^2=1+2 \sin α \cdot \cos α\)； \((\sin α-\cos α)^2=1-2 \sin α \cdot \cos α\).
②\(\sin θ+\cos θ\)、\(\sin θ-\cos θ\)、\(\sin θ\cos θ\)也是“知一得二”.
【巩固练习】
1.已知\(α\)是第四象限角， \(\cos \alpha=\frac{12}{13}\)，则\(\sin α\)等于( )
A． \(\frac{5}{13}\) \(\qquad \qquad\) B． \(-\frac{5}{13}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\frac{5}{12}\) \(\qquad \qquad\) D． \(-\frac{5}{12}\)
2.已知\(\alpha=-\frac{1}{2}\)，则\(\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^2 \alpha-\cos ^2 \alpha}\)的值是( )
A． \(\frac{4}{3}\) \(\qquad \qquad\) B．\(3\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\frac{4}{3}\) \(\qquad \qquad\) D．\(-3\)
3.如果角\(θ\)满足\(\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\)，那么\(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\)的值是( )
A.\(-1\) \(\qquad \qquad\) B．\(-2\) \(\qquad \qquad\) C．\(1\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
4.若\(\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)，且\(\cos ^2 \alpha-\sin \alpha=\frac{1}{4}\)，则\(\tan α\)的值等于( )
A． \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D． \(-\sqrt{3}\)
5.已知\(\tan \alpha=\frac{4}{3}\)，且\(α\)是第三象限角，求\(\sin α\)，\(\cos α\)的值．
6.已知\(\sin θ\)、\(\cos θ\)是关于\(x\)的方程 \(x^2-2 \sqrt{2} a x+a=0\)的两个根．
(1)求实数\(a\)的值；(2)若\(θ∈\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\)，求\(\sin θ-\cos θ\)的值．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵α\)是第四象限角，
\(\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\frac{5}{13}\)． -
答案 \(A\)
解析 原式 \(=\frac{2 \tan \alpha}{\tan ^2 \alpha-1}=\frac{2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1}=\frac{4}{3}\)． -
答案 \(D\)
解析 \(\because \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\)，
\(\therefore 1+2 \sin \theta \cos \theta=2\)，即 \(\sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2}\)，
那么 \(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}=2\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 \(∵\cos ^2 \alpha-\sin \alpha=\frac{1}{4}\)，\(∴4(1-\sin ^2α )-4\sin α-1=0\)，
即\(A\)\(4 \sin ^2α+4\sin α－3=0\)，\(∴\)解得 \(\sin \alpha=\frac{1}{2}\)或 \(\sin \alpha=-\frac{3}{2}\)(舍)．
\(∵\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)， \(\therefore \alpha=\frac{5 \pi}{6}\)， \(\therefore \tan \alpha=\tan \frac{5 \pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(\cos \alpha=-\frac{3}{5}\)， \(\sin \alpha=-\frac{4}{5}\)．
解析 由 \(\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{4}{3}\)得\(\sin α=\frac{4}{3} \cos α\)．①
又\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\)，②
由①②得 \(\frac{16}{9} \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1\)，即 \(\cos ^2 \alpha=\frac{9}{25}\)．
\(∵α\)在第三象限，
\(\therefore \cos \alpha=-\frac{3}{5}\)， \(\sin \alpha=\frac{4}{3} \cos \alpha=-\frac{4}{5}\)． -
答案 (1) \(a=-\frac{1}{4}\)或 \(\frac{1}{2}\)；(2) \(-\frac{\sqrt{6}}{2}\).
解析 (1)\(∵\sin θ\)、\(\cos θ\)是关于\(x\)的方程 \(x^2-2 \sqrt{2} a x+a=0\)的两个根，
\(\therefore \sin \theta+\cos \theta=2 \sqrt{2} a\) ①，\(\sin θ\cos θ=a\) ②，
\(△=b^2-4ac=8a^2-4a≥0\)，即\(a≤0\)或\(a≥\frac{1}{2}\)，
\(∴(\sin θ+\cos θ)^2=1+2\sin θ\cos θ=1+2a=8a^2\)，
即\(8a^2-2a-1=0\)，解得\(a=-\frac{1}{4}\)或 \(\frac{1}{2}\)．
(2)\(∵θ∈\left(-\frac{\pi}{2},0 \right)\)，
\(∴\sin θ<0\)，\(\cos θ>0\)，可得\(\sin θ\cos θ=a<0\)，由(1)可得\(a=-\frac{1}{4}\)，
\(∴\sin θ\cos θ=-\frac{1}{4}\)，
\(∴(\sin θ-\cos θ)^2=1-2\sin θ\cos θ=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)，
又\(\sin θ-\cos θ<0\)，\(∴ \sin θ-\cos θ=-\frac{\sqrt{6}}{2}\).
(注意判断\(\sin θ－\cos θ\)的正负)
【题型2】三角函数式的化简
【典题1】 化简下列各式：
(1) \(\frac{\sqrt{1-2 \sin 130^{\circ} \cos 130^{\circ}}}{\sin 130^{\circ}+\sqrt{1-\sin ^2 130^{\circ}}}\)；
(2) \(\sin ^2 \alpha \cdot \tan \alpha+2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha+\frac{\cos ^2 \alpha}{\tan \alpha}\).
解析 (1)原式 \(=\frac{\sqrt{\sin ^2 130^{\circ}-2 \sin 130^{\circ} \cos 130^{\circ}+\cos ^2 130^{\circ}}}{\sin 130^{\circ}+\sqrt{\cos ^2 130^{\circ}}}\)
\(=\frac{\left|\sin 130^{\circ}-\cos 130^{\circ}\right|}{\sin 130^{\circ}+\left|\cos 130^{\circ}\right|}=\frac{\sin 130^{\circ}-\cos 130^{\circ}}{\sin 130^{\circ}-\cos 130^{\circ}}=1\)．
(2)原式 \(=\sin ^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(=\frac{\sin ^4 \alpha+2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+\cos ^4 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha}\)\(=\frac{\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)^2}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\)．
点拨 遇到正切一般化为正弦与余弦，"切化弦"的方法.
【巩固练习】
1.若角\(α\)的终边在第二象限，则\(\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}}+\frac{\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}}{\cos \alpha}\) 的值等于( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad\) B．\(-2\) \(\qquad \qquad\) C．\(0\) \(\qquad \qquad\) D．\(-2\)或\(2\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(∵α\)是第二象限角，
\(∴\sin α>0\)，\(\cos α<0\)．
\(\therefore \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}}+\frac{\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}}{\cos \alpha}=\frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|}+\frac{|\sin \alpha|}{\cos \alpha}=-\tan \alpha+\tan \alpha=0\)．
【题型3】三角恒等式的证明
【典题1】 求证： \(\frac{1-2 \sin 2 x \cos 2 x}{\cos ^2 2 x-\sin ^2 2 x}=\frac{1-\tan 2 x}{1+\tan 2 x}\).
证明 左边 \(=\frac{\cos ^2 2 x+\sin ^2 2 x-2 \sin 2 x \cos 2 x}{\cos ^2 2 x-\sin ^2 2 x}=\frac{(\cos 2 x-\sin 2 x)^2}{(\cos 2 x-\sin 2 x)(\cos 2 x+\sin 2 x)}\)
\(=\frac{\cos 2 x-\sin 2 x}{\cos 2 x+\sin 2 x}=\frac{1-\tan 2 x}{1+\tan 2 x}=\)右边，
所以原式成立．
【巩固练习】
1.求证： \(2(1-\sin \alpha)(1+\cos \alpha)=(1-\sin \alpha+\cos \alpha)^2\).
参考答案
- 证明 右边\(=[(1-\sin α)+\cos α]^2\)
\(=(1-\sin α)^2 +\cos ^2α+2 \cos α(1-\sin α )\)
\(=1-2\sin α+\sin ^2 α+\cos ^2 α+2\cos α(1-\sin α)\)
\(=2-2\sin α+2\cos α(1-\sin α)\)
\(=2(1-\sin α)(1+\cos α)=\)左边，
所以原式成立．
分层练习
【A组---基础题】
1.已知\(\cos α=-\frac{12}{13}\)，\(α∈(π,2π)\)，则\(\tan α=\) ( )
A． \(\frac{12}{5}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\frac{5}{12}\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\frac{5}{12}\) \(\qquad \qquad\) D． \(-\frac{12}{5}\)
2.已知\(\tan \alpha=\frac{3}{4}\)，则\(\frac{\sin \alpha-2 \cos \alpha}{2 \sin \alpha+\cos \alpha}=\)( )
A．\(-2\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(-\frac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\frac{1}{2}\)
3.如果角\(θ\)满足\(\sin θ+\cos θ=\sqrt{2}\)，那么\(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\)的值是( )
A．\(-1\) \(\qquad \qquad\) B．\(-2\) \(\qquad \qquad\) C．\(1\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
4.已知角\(α\)是锐角，若\(\sin α\),\(\cos α\)是关于\(x\)的方程\(x^2+mx+n=0\)的两个实数根，则实数\(m\)和\(n\)一定满足( )
A．\(m^2-4n=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(m^2=2n+1\) \(\qquad \qquad\) C．\(m+n+1≤0\) \(\qquad \qquad\) D．\(mn>0\)
5.已知\(α\)是第三象限角，\(4\sin ^2 α-3\sin α\cos α-5\cos ^2 α=1\)，则\(\tan α=\)( )
A．\(-1\)或\(2\) \(\qquad \qquad\) B． \(\frac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\(1\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
6.已知\(α∈(π,\frac{3\pi}{2})\)，\(\tan α=2\)，则\(\cos α=\) \(\underline{\quad \quad}\).
7.已知\(\sin α+\cos α=\frac{1}{5}\)，则\(\sin α\cos α=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
8.若\(\sin α=\frac{\sqrt{5}}{5}\)，则\(\sin ^4 α-\cos ^4 α=\) \(\underline{\quad \quad}\).
9.已知\(α\)为第二象限角，则\(\frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}}+\cos \alpha \sqrt{1+\tan ^2 \alpha}\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)．
10.已知\(\mid \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=3\)，求\(\tan ^2 \theta+(\sin \theta-\cos \theta)^2+\frac{1}{\tan ^2 \theta}\)的值．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\cos α=-\frac{12}{13}\)，\(α∈(π,2π)\)，则\(α∈(π,\frac{3\pi}{2})\)，\(∴\sin α<0\)．
又\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\)，
\(\therefore \sin ^2 \alpha=1-\cos ^2 \alpha=\frac{25}{169}\)，
\(\therefore \sin \alpha=-\frac{5}{13}\)， \(\therefore \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{5}{12}\)． -
答案 \(C\)
解析 \(∵\tan \alpha=\frac{3}{4}\) ， \(\therefore \frac{\sin \alpha-2 \cos \alpha}{2 \sin \alpha+\cos \alpha}=\frac{\tan \alpha-2}{2 \tan \alpha+1}=-\frac{1}{2}\)．故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 \(∵\sin θ+\cos θ=\sqrt{2}\)，\(∴1+2\sin θ\cos θ=2\)，即\(\sin θ\cos θ= \frac{1}{2}\)，
那么 \(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}=2\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 由题可得\(\sin α+\cos α=-m\)，\(\sin α\cos α=n\)，
因为\(1=\sin ^2 α+\cos ^2 α=(\sin α+\cos α)^2-2\sin α\cos α=m^2-2n\)，
\(∴m^2=2n+1\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由\(4\sin ^2 α-3\sin α\cos α-5\cos ^2 α=1\)
可得 \(\frac{4 \sin ^2 \alpha-3 \sin \alpha \cos \alpha-5 \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=1\)．
分子，分母同时除以\(\cos ^2α\)，得 \(\frac{4 \tan ^2 \alpha-3 \tan \alpha-5}{\tan ^2 \alpha+1}=1\)，
解得\(\tan α=-1\)或\(\tan α=2\)．
又\(∵α\)是第三象限角，
\(∴\tan α>0\)．\(∴\tan α=2\)． -
答案 \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\)
解析 \(∵α∈\left(π,\frac{3\pi}{2}\right)\)，\(\tan α=2\)，
\(∴\cos α<0\)， \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=2\)．
又\(\sin ^2 α+\cos ^2 α=1\)，
\(∴5 \cos ^2α=1\)，\(∴\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)． -
答案 \(-\frac{12}{25}\)
解析 \(∵\sin α+\cos α=\frac{1}{5}\)，
\(∴\)两边平方可得：\(\sin ^2 α+\cos ^2 α+2\sin α\cos α=\frac{1}{25}\)，
\(∴1+2\sin α\cos α=\frac{1}{25}\)，则\(\sin α\cos α=-\frac{12}{25}\)． -
答案 \(-\frac{3}{5}\)
解析 \(\sin ^4α-\cos ^4α=(\sin ^2α+\cos ^2α )(\sin ^2α-\cos ^2α )\)
\(=\sin ^2α-\cos ^2α=\sin ^2α-(1-\sin ^2α )\)
\(=2 \sin ^2 \alpha-1=2 \times\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2-1=-\frac{3}{5}\)． -
答案 \(1\)
解析 \(∵α\)为第二象限角，\(\cos α<0\)，
\(\therefore \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}}+\cos \alpha \sqrt{1+\tan ^2 \alpha}=\frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha}+\cos \alpha \sqrt{\frac{1}{\cos ^2 \alpha}}\)\(=2+\cos \alpha\left|\frac{1}{\cos \alpha}\right|=2-1=1\)．
故答案为：\(1\)． -
答案 \(\frac{22}{3}\)
解析 由已知得 \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=3\)，
\(\therefore \frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}=3\), \(\therefore \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{3}\)．
\(∴\)原式 \(=\left(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^2-2+(1-2 \sin \theta \cos \theta)=3^2-2+1-\frac{2}{3}=\frac{22}{3}\)．
【B组---提高题】
1.已知 \(\frac{1-\cos x+\sin x}{1+\cos x+\sin x}=-2\)，则\(\tan x\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
2.已知\(3\sin α+4\cos α=5\)，求\(\tan α\).
3.已知\(0<x<π\)，\(\sin x+\cos x=\frac{1}{4}\)．
①求\(\sin x-\cos x\)的值；②求\(\sin ^3x+\cos ^3x\)的值．
参考答案
-
答案 \(\frac{4}{3}\)
解析 由条件，得\(1-\cos x+\sin x=-2-2\cos x-2\sin x\)，
整理得：\(3\sin x+\cos x=-3\)，
即 \(\cos x=-3\sin x-3\) ①，
代入\(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\)中，得\(\sin ^2 x+(-3\sin x-3)^2=1\)，
整理得：\(5\sin ^2 x+9\sin x+4=0\)，即\((\sin x+1)(5\sin x+4)=0\)，
解得\(\sin x=-1\)(舍)或\(\sin x=-\frac{4}{5}\)，
把 \(\sin x=-\frac{4}{5}\)，代入①，得\(\cos x=-\frac{3}{5}\)，所以\(\tan x=\frac{4}{3}\)． -
答案 \(\frac{3}{4}\)
解析 方法1 解方程组法
由\(\left\{\begin{array}{c} 3 \sin \alpha+4 \cos \alpha=5 \\ \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \end{array}\right.\)得\(25 \sin ^2α-30\sin α+9=0\)，
解得\(\sin α=\frac{3}{5}\)，
\(∴\cos α=\frac{4}{5}\) , \(∴\tan α=\frac{3}{4}\).
方法2 “对偶式”法
设\(4\sin α-3\cos α=x\)，等式两边平方得\(16 \sin ^2α-24\sin α\cos α+9 \cos ^2α=x^2\) ①
将\(3\sin α+4\cos α=5\)两边平方，得\(9 \sin ^2α+24\sin α\cos α+16 \cos ^2α=25\) ②
由①+②得，\(25=x^2+25\)，解得\(x=0\)，
\(∴4\sin α-3\cos α=0\), \(∴4\sin α=3\cos α\), \(∴\tan α=\frac{3}{4}\).
方法3 “弦化切”法
将\(3\sin α+4\cos α=5\)两边平方，得\(9 \sin ^2α+24\sin α\cos α+16 \cos ^2α=25\)
即\(\frac{9 \sin ^2 \alpha+24 \sin \alpha \cos \alpha+16 \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=25\)，
即 \(\frac{9 \tan ^2 \alpha+24 \tan \alpha+16}{\tan ^2 \alpha+1}=25\)，解得 \(\tan α=\frac{3}{4}\). -
答案 ① \(\frac{\sqrt{31}}{4}\); ② \(\frac{47}{128}\)．
解析 已知\(0<x<π\)， \(\sin x+\cos x=\frac{1}{4}\)．
所以 \((\sin x+\cos x)^2=\frac{1}{16}\)，解得 \(\sin x \cos x=-\frac{15}{32}\)，
所以\(\frac{\pi}{2}<x<π\)．
① \(\sin x-\cos x=|\sin x-\cos x|=\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-4 \sin x \cos x}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}-4 \times\left(-\frac{15}{32}\right)}=\frac{\sqrt{31}}{4}\)．
② \(\sin ^3 x+\cos ^3 x=(\sin x+\cos x)\left(\sin ^2 x-\sin x \cos x+\cos ^2 x\right)\)\(=\frac{1}{4} \times\left(1+\frac{15}{32}\right)=\frac{47}{128}\)．
【C组---拓展题】
1.已知函数\(y=\cos ^2x+a\sin x-a^2+2a+5\)有最大值\(2\)，求实数\(a\)的值．
参考答案
- 答案 \(a=-\frac{4}{3}\)或 \(a=\frac{3+\sqrt{21}}{2}\)．
解析 \(y=-\sin ^2x+a\sin x-a^2+2a+6\)，令\(\sin x=t\),\(t∈[-1,1]\)，
则\(y=-t^2+at-a^2+2a+6\)，对称轴为\(t=\frac{a}{2}\)，
当\(\frac{a}{2}<-1\)，即\(a<-2\)时，\([-1,1]\)是函数\(y\)的递减区间， \(y_{\max }=\left.y\right|_{t=-1}=-a^2+a+5=2 \text {, }\)，
得 \(a^2-a-3=0\), \(a=\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)与\(a<-2\)矛盾；
当\(\frac{a}{2}>1\)，即\(a>2\)时，\([-1,1]\)是函数\(y\)的递增区间， \(y_{\max }=\left.y\right|_{t=-1}=-a^2+a+5=2\)，
得\(a^2-3a-3=0\), \(a=\frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\)，
而\(a>2\)，即 \(a=\frac{3 + \sqrt{21}}{2}\)；
当\(-1≤\frac{a}{2}≤1\) ，即\(-2≤a≤2\)时， \(y_{\max }=\left.y\right|_{t=\frac{a}{2}}=-\frac{3}{4} a^2+2 a+6=2\)，
得\(3a^2-8a-16=0\)，\(a=4\)或\(a=-\frac{4}{3}\)，
而\(-2≤a≤2\)，即\(a=-\frac{4}{3}\)；
\(∴a=-\frac{4}{3}\)或 \(a=\frac{3+\sqrt{21}}{2}\)．