\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

必修第一册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

任意角的三角函数的概念

设\(α\)是一个任意角，\(α∈R\)，它的终边\(OP\)与单位圆相交于点\(P(x,y)\).
① 把点\(P\)的纵坐标\(y\)叫做\(α\)的正弦函数，记作\(\sinα\)，即\(y=\sinα\)；
② 把点\(P\)的纵坐标\(x\)叫做\(α\)的余弦函数，记作\(\cosα\)，即\(x=\cosα\)；
③ 把点\(P\)的纵坐标 \(\dfrac{y}{x}\)叫做\(α\)的正切函数，记作\(\tanα\)，即 \(\dfrac{y}{x}=\tan \alpha(x \neq 0)\).

正弦函数\(f(x)=\sin x\),\(x∈R\)；余弦函数\(f(x)=\cos x\),\(x∈R\)；
正切函数\(f(x)=\tan x\), \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)\)，它们统称三角函数.
解释
(1) 一般地，任意给定一个角\(α∈R\)，它的终边\(OP\)与单位圆的交点是确定的，则点\(P\)的横坐标\(x\)、纵坐标\(y\)都是角\(α\)的函数；
(2) 当\(α=\dfrac{\pi}{2}+kπ(k∈Z)\)时，\(α\)的终边在\(y\)轴上，这时点\(P\)横坐标\(x=0\)，此时 \(\dfrac{y}{x}=\tan \alpha\)没意义.
(3) 设\(α\)是一个任意角，它的终边上任意一点\(P\)(不与原点\(O\)重合)的坐标为\((x,y)\)，点\(P\)与原点的距离为\(r\)，则\(\sin \alpha=\dfrac{y}{r}\)，\(\cos \alpha=\dfrac{x}{r}\)，\(\tan \alpha=\dfrac{y}{x}\).显然其中\(r=\sqrt{x^2+y^2}\).
 

【例】 求\(\sin \dfrac{2 \pi}{3}\)， \(\cos \dfrac{2 \pi}{3}\)， \(\tan \dfrac{2 \pi}{3}\).
解析 下图中，\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的终边\(OP\)与单位圆交于点\(P\)，过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴，
在\(Rt∆OPH\)中，\(OP=1\)， \(\angle P O H=\dfrac{\pi}{3}\)，
则\(O H=\dfrac{1}{2}\)， \(P H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(P\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)，
则\(\sin \dfrac{2 \pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos \dfrac{2 \pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\)，\(\tan \dfrac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}\).
![image.png](httPS