格和布尔代数复习
主要框架
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格的定义以及性质#
定义:
格:设\(<S, \preccurlyeq>\)为一个偏序集,若对任意两个元素都可以找到一个最小上界和最大下界,那么称此偏序集为格。
规定:
- \(\and\)表示最小上界
- \(\or\) 表示最大下界
对偶命题:将所有的符号换成相反的符号的命题为对偶命题,大于等于变小于等于。对偶命题与原命题具有等价性。
格的二元关系定义:若\(<S, *, \circ>\)满足2格二元关系,满足交换律,结合律,吸收律,幂等律,则可以定义偏序,从而有格。
定理:
11.1.1:格满足交换律,结合律,幂等律,吸收律。(格的本质是继承于偏序关系,只不过为了保证格的封闭性,要求最小上界最大下界必须存在。)
其余的一些定理,基本上就和初中学过的比大小的定理基本一致,直接跳过。
分配格, 有补格与布尔代数#
就和定义环时的特殊环一样,格作为比环性质更加丰富的结构,也会出现很多特殊的格
定义:
分配格:满足分配律的格,注意是取上界与取下界都有分配律。
有界格:对于取上界运算\(\and\)存在零元,对于取下界运算\(\or\)存在零元,也就是说存在最大最小值(全局的)。
补元:若对于格两个元素\(a, b\)若\(a\and b = 1\), \(a\or b = 0\)那么称这两个元素互为补元。
有补格:每一个元素都存在补元,的格则称为有补格,
布尔代数:继承与有阶分配格的有补格称为布尔代数(有补分配格)
满足交换律,分配律,同一律,补元律的代数系统为一个布尔代数。
原子:最接近格中加法单位元的元素为原子。
\[设L是格,0\in L, a\in L, 若\forall b\in L\\ 0\prec b\preccurlyeq a\Leftrightarrow a = b \]\(a为L中原子\)
定理:
11.2.1:L是分配格,当且仅当L中不存在与钻石格和五角格同构的子格。
推论:
- 小与5元的格都是分配格。
- 任何一条链是分配格。
11.2.2:有界分配格,若元素存在补元,那么补元唯一。
11.2.3:布尔格符合双重否定律与德摩根律,(补元的唯一性,补元的定义)
11.2.4:有 限布尔代数表示定理:设B是有限布尔代数,A是B的全体原子构成的集合,B同构于A的幂集代数\(P(A)\)
推论:
- 所有有限布尔代数的基为\(2^n\)
- 等势的有限布尔代数同构。
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