一.群的定义
说起群，首先要引出一个更大的概念——代数系统（什么是代数系统就不解释了…），其中在概念上来看，代数系统>广群>半群独异点>群。
设【<G,*>】是一个代数系统，其中G是一个集合，*是一个任意的二元运算符：
- 若满足*运算在G中封闭（对于所有G中a和b，运算a.b的结果也在G中），则代数系统【<G,*>】是广群。
即： 满足以下公理的集合G称为广群：（注：*为广义运算） ①在运算*下是封闭的；
- 在广群的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是半群：
结合律：对于所有G中的a和b和c，等式(a.b)·c=a·(b·c)成立。
即：
①在运算*下是封闭的；
②对于G中的任意的元，都满足结合律。
- 在半群的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是独异点（幺半群）：
存在单位元（幺元）：存在G中的一个元素e，使得对于所有G中的元素a，总有等式e·a=a·e=a成立(类似于乘法中的1和加法中的0)。
即：
①在运算*下是封闭的；
②对于G中的任意的元，都满足结合律；
③存在幺元（单位元），且唯一。
- 在独异点的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是群。
存在逆元：对于每个G中的元素a，存在G中的一个元素b使得总有a·b=b·a=e，此处e为单位元（类似乘法中的6和1/6，加法中的6和-6）。
即： 满足以下公理的集合G称为群：（注：*为广义运算）
①在运算*下是封闭的；
②对于G中的任意的元，都满足结合律；
③存在幺元（单位元），且唯一；
④对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一。
- 群的性质
①当一个群G中只含有有限元素，那么这些元素的个数记为群G的阶，记作|G|。
②一个群G中的任何子群在相同的运算下如果也是群，则称之为群G的一个子群。
③如果存在一个最小正整数k，满足gk=e，则称k为群G中元素g的阶。
④有限群中任意元素β的阶可整除该群的阶。
⑤相较于无限群，有限群因为其易在计算机中实现，故其在密码学中的作用更大。 - 群的例子
整数群：
①对于任何两个整数a和b，它们的和也是整数。满足条件①，关于运算+是闭集；
②对于任何整数a，存在0 + a = a + 0 = a，满足条件②存在幺元；
③对于任何整数a，存在另一个整数b使得a + b = b + a = 0，则整数b叫做整数a的逆元，记为a-1，满足条件③；
④对于任何整数a，b和c，存在(a + b) + c=a + (b + c)。满足条件④，关于运算+满足结合律。
几种常见的群
1.交换群（阿贝尔群） （在半群的基础上满足交换律）
2.循环群 { 0°，90°，180°，270°} ，90°是它的生成元，生成元的4次阶，有回到了0°，不循环话下去。
3.对称群
4.置换群
二.环
- 环的定义
满足以下公理的集合R称为环：
⑴对于加法的代数系统+：（环在加法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于R中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于R中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于R中的任意的元，都满足交换律。
⑵对于乘法的代数系统×：（环在乘法下是一个半群）
①在运算×下是封闭的；
②对于R中的任意的元，都满足结合律；
⑶关于运算+和×：
对于R中的任意的元，都满足分配律。 - 环的性质
①若环中的乘法运算满足交换律，即ab=ba，这样的环称为交换环。
②若环中的乘法运算拥有幺元，这样的环称之为含幺环。 - 环的例子
整数环：
整数集Z对于运算+是一个阿贝尔群；
对于运算×是一个半群；
所以集合Z是一个环（整数环）
二.域
- 域的定义
满足以下公理的集合F称为域：
⑴对于加法的代数系统+：（域在加法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于F中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于F中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
⑵对于乘法的代数系统×：（域（0元素除外）在乘法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于F中的任意的元（除0元素），都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于F中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
⑶关于运算+和×：
对于F中的任意的元，都满足分配律。 - 域的性质
①域的一个子集如果在继承的加法和乘法运算下本身也是一个域，就称为域。例如，实数域便是复数域的一个子域。
②含有有限个元素的域称为有限域Fq或伽罗华域GF(q)，其中q为该有限域的元素个数。
③含有2m个元素的有限域称为二进制域。
④含有p（p为奇素数）个元素的有限域称为二进制域。
⑤含有pm（p为素数）个元素的有限域称为特征值为p的域。在特征值为p的有限域中，表达式( a + b ) p m = a p m + b p m (a+b)^{p^m} =a^{p^m}+b^{p^m}(a+b)pm=apm+bpm恒成立。 - 域的例子
有限域：
举例来说，如10以内的非负整数，就是一个有限域。
一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。
转：https://blog.csdn.net/qq_30154571/article/details/109134782
https://blog.csdn.net/qq_40298054/article/details/109161830
https://blog.csdn.net/weixin_44885334/article/details/124563979
标签：运算,对于,整数,离散数学,概念,满足,结合律,任意 From： https://www.cnblogs.com/fps2tao/p/16715964.html