1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：
①封闭性：a ∗ b is another element in the set
②结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
③单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a
④逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)
⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：
①(R, +)是交换群
封闭性：a + b is another element in the set
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a
逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)
交换律：a + b = b + a
②(R, ·)是幺半群
结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition
3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。
由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。
转： https://zhidao.baidu.com/question/237393210.html
https://blog.csdn.net/salmonwilliam/article/details/89192916
标签：中群,运算,逆元,离散数学,元为,理解,加法,结合律,乘法 From： https://www.cnblogs.com/fps2tao/p/16720235.html