凸透镜成像原理
前言
凸透镜成像原理是初中二年级的简单物理知识，但是因为 （数学学的不好） 种种原因，初中的教学只能通过实验来找出规律。
因此，很多初中 牲 生在学习此方面知识的时候十分痛苦。
相信大家不想死背规律表及规律口诀，作者也很希望可以帮到大家。
故，此篇文章诞生！
给个赞不过分吧
规律法
是的，在开始之前，先回顾一下刚学完的知识：
| 物距(u) | 像距(v) | 正侧 | 大小 | 虚实 | 应用 | 特点 | 物、像位置关系 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u>2f | f<v<2f | 倒立 | 缩小 | 实像 | 照相机、摄像机 | - | 物像异侧 |
| u=2f | v=2f | 倒立 | 等大 | 实像 | 测焦距 | 成像大小分界点 | 物象异侧 |
| f<u<2f | v>2f | 倒立 | 放大 | 实像 | 幻灯机、电影放映机、投影仪 | - | 物象异侧 |
| u=f | 不成像 | 不成像 | 不成像 | 不成像 | 强光聚焦手电筒、制作平行光线 | 成像虚实的分界点 | - |
| u<f | v>u | 正立 | 放大 | 虚像 | 放大镜 | 虚像在物体同侧、之后 | 物象同侧 |
口诀
口诀一
一焦（点）分虚实，二焦（距）分大小；
虚像同侧正，实像异侧倒，物远像变小。
口诀二
物远实像小而近，物近实像大而远，
如果物放焦点内，正立放大虚像现；
幻灯放像像好大，物处一焦二焦间，
相机缩你小不点，物处二倍焦距远。
几何法
P.S. 这里需要前置知识：三角形相似
证明
\(证：\)
\(\because\triangle ABO∽\triangle A'B'O\) \(\qquad\) (三角形ABO相似于三角形A'B'O)
\(\therefore AB:A'B'=u:v\)
\(\because\triangle COF∽\triangle A'B'F\)
\(\therefore CO:A'B'=f:(v-f)\)
\(\because 四边形ABOC为矩形\)
\(\therefore AB=CO\)
\(\therefore AB:A'B'=f:(v-f)\)
\(\therefore u:v=f:(v-f)\)
\(\therefore u(v-f)=vf\)
\(\therefore uv-uf=vf\)
\(\because uvf\neq 0\)
\(\therefore \frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}\)
\(\therefore \frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{1}{u}\)
\(即\)
\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)
\(证毕\).
函数法
P.S. 这里还是要前置知识：正比例函数（\(y=kx\)）与 一次函数（\(y=kx+b\))
证明
步骤
（一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（\(x\)轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（\(y\)轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联.则：点\(A\)的坐标为\(（-u,c）\)，点\(F\)的坐标为\(（f,0）\)，点\(A'\)的坐标为\(（v,-d）\)，点\(C\)的坐标为\(（0，c）\).
（二）将\(AA'\)，\(A'C\)双向延长为直线\(l_1\),\(l_2\)，视作两条函数图象.由图象可知：直线\(l_1\)为正比例函数图象，直线\(l_2\)为一次函数图象.
（三）设直线\(l_1\)的解析式为\(y=k_1x\)，直线\(l_2\)的解析式为\(y=k_2x+b\).
依题意，将\(A(-u,c),C(0,c),F(f,0)\)代入相应解析式，得
\[\begin{cases} c=-uk_1\\ c=b\\ 0=k_2f+b \end{cases} \]得
\[\begin{cases} k_1=-\frac{c}{u}x\\ k_2=-\frac{c}{f} \end{cases} \]\(\therefore 两函数解析式为\)
\[y=-\frac{c}{u}x\\ y=-\frac{c}{f}x+c \]\(\therefore 两函数交点A'(x,y)满足方程组\)
\[\begin{cases} y=-\frac{c}{u}x\\ y=-\frac{c}{f}x+c \end{cases} \]\(\because A'(v,-d)\)
\(\therefore \begin{cases}-d=-\frac{c}{u}v\\-d=-\frac{c}{f}v+c\end{cases}\)
\(\therefore -\frac{c}{u}v=-\frac{c}{f}v+c=-d\)
\(\therefore \frac{c}{u}v=\frac{c}{f}v+c=d\)
\(\therefore \frac{cv}{u}=\frac{cv}{f}+c\)
\(\therefore cvf=cuv-cuf\)（两边同乘\(uf\)）
\(\therefore vf=uv-uf\)
\(\because uvf\neq0\)
\(\therefore \frac{vf}{uvf}=\frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}\)
\(\therefore \frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}\)
\(即\)
\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)
\(证毕.\)
尾声
是的，这就是推出&证明凸透镜成像原理的方法。可能你没懂，但这是很正常的，毕竟这些高中会再讲一次 现在掌握规律法就行，只是本文给出对此感兴趣的同学借以参考，毕竟知识不宜学死，要学会鲜活、生动的知识。
尾声的尾声
本文并非用word或记事簿等大众文字编辑器进行文字编辑，而是采用\(MarkDown\)语言进行编写，文中所示的数学语言皆用\(\LaTeX\)语言进行编辑。
用意何在？
因为这是一种另类的编辑文字语言，像是敲代码。主要原因是\(OI\)（信息竞赛）生涯上需要写题解、发表帖子，且均采用这一类语言为多。而作者本人作为一名\(OIer\)，希望以这种方式传播信息的魅力与精彩！
以下是本文所有内容的源代码，感兴趣的同学可以自行了解。
MAIN CODE（本部分可跳过）
看到这么长的代码，看作者这么辛苦，给个赞不过分吧(^^)
# 凸透镜成像原理
## 前言
凸透镜成像原理是初中二年级的**简单**物理知识，但是因为 <s>（数学学的不好）</s> 种种原因，初中的教学只能通过实验来找出规律。
因此，很多初中 <s>牲</s> 生在学习此方面知识的时候**十分痛苦**。\
相信大家不想死背规律表及规律口诀，作者也很希望可以帮到大家。
故，此篇文章诞生！
###### <s>给个赞不过分吧</s>
## 规律法
是的，在开始之前，先回顾一下刚学完的知识：
|物距(u)|像距(v)|正侧|大小|虚实|应用|特点|物、像位置关系|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|u>2f|f<v<2f|倒立|缩小|实像|照相机、摄像机|-|物像异侧|
|u=2f|v=2f|倒立|等大|实像|测焦距|成像大小分界点|物象异侧|
|f<u<2f|v>2f|倒立|放大|实像|幻灯机、电影放映机、投影仪|-|物象异侧|
|u=f|不成像|不成像|不成像|不成像|强光聚焦手电筒、制作平行光线|成像虚实的分界点|-|
|u<f|v>u|正立|放大|虚像|放大镜|虚像在物体同侧、之后|物象同侧|
### 口诀
#### 口诀一
> 一焦（点）分虚实，二焦（距）分大小；\
虚像同侧正，实像异侧倒，物远像变小。
#### 口诀二
> 物远实像小而近，物近实像大而远，\
如果物放焦点内，正立放大虚像现；\
幻灯放像像好大，物处一焦二焦间，\
相机缩你小不点，物处二倍焦距远。
## 几何法
### P.S. 这里需要前置知识：三角形相似
证明
$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$
$证：$
$\because\triangle ABO∽\triangle A'B'O$ $\qquad$ (三角形ABO相似于三角形A'B'O)
$\therefore AB:A'B'=u:v$
$\because\triangle COF∽\triangle A'B'F$
$\therefore CO:A'B'=f:(v-f)$
$\because 四边形ABOC为矩形$
$\therefore AB=CO$
$\therefore AB:A'B'=f:(v-f)$
$\therefore u:v=f:(v-f)$
$\therefore u(v-f)=vf$
$\therefore uv-uf=vf$
$\because uvf\neq 0$
$\therefore \frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}$
$\therefore \frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{1}{u}$
$即$
$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$
$证毕$.
## 函数法
### P.S. 这里还是要前置知识：正比例函数（$y=kx$）与 一次函数（$y=kx+b$)
证明
$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$
步骤\
（一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（$x$轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（$y$轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联.则：点$A$的坐标为$（-u,c）$，点$F$的坐标为$（f,0）$，点$A'$的坐标为$（v,-d）$，点$C$的坐标为$（0，c）$.\
（二）将$AA'$，$A'C$双向延长为直线$l_1$,$l_2$，视作两条函数图象.由图象可知：直线$l_1$为正比例函数图象，直线$l_2$为一次函数图象.\
（三）设直线$l_1$的解析式为$y=k_1x$，直线$l_2$的解析式为$y=k_2x+b$.
依题意，将$A(-u,c),C(0,c),F(f,0)$代入相应解析式，得
$$
\begin{cases}
c=-uk_1\\
c=b\\
0=k_2f+b
\end{cases}
$$
得
$$
\begin{cases}
k_1=-\frac{c}{u}x\\
k_2=-\frac{c}{f}
\end{cases}
$$
$\therefore 两函数解析式为$
$$
y=-\frac{c}{u}x\\
y=-\frac{c}{f}x+c
$$
$\therefore 两函数交点A'(x,y)满足方程组$
$$
\begin{cases}
y=-\frac{c}{u}x\\
y=-\frac{c}{f}x+c
\end{cases}
$$
$\because A'(v,-d)$
$\therefore \begin{cases}-d=-\frac{c}{u}v\\-d=-\frac{c}{f}v+c\end{cases}$
$\therefore -\frac{c}{u}v=-\frac{c}{f}v+c=-d$
$\therefore \frac{c}{u}v=\frac{c}{f}v+c=d$
$\therefore \frac{cv}{u}=\frac{cv}{f}+c$
$\therefore cvf=cuv-cuf$（两边同乘$uf$）
$\therefore vf=uv-uf$
$\because uvf\neq0$
$\therefore \frac{vf}{uvf}=\frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}$
$\therefore \frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v} $
$即$
$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$
$证毕.$
## 尾声
是的，这就是推出&证明凸透镜成像原理的方法。可能你没懂，但这是很正常的，<s>毕竟这些高中会再讲一次</s> 现在掌握规律法就行，只是本文给出对此感兴趣的同学借以参考，毕竟知识不宜学死，要学会鲜活、生动的知识。
### 尾声的尾声
本文并非用word或记事簿等大众文字编辑器进行文字编辑，而是采用$MarkDown$语言进行编写，文中所示的数学语言皆用$\LaTeX$语言进行编辑。
用意何在？
因为这是一种另类的编辑文字语言，像是敲代码。主要原因是$OI$（信息竞赛）生涯上需要写题解、发表帖子，且均采用这一类语言为多。而作者本人作为一名$OIer$，希望以这种方式传播信息的魅力与精彩！
以下是本文所有内容的源代码，感兴趣的同学可以自行了解。