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零钱兑换

[传送门]( 322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode） )

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

1、确定 base case

if (amount < 0)
			return -1; //amount<0的话，返回-1
if (amount == 0)  
			return 0;  //amount为0的话，直接返回0

2、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量

由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。

3、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为

你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」

4、明确 dp 函数/数组的定义

有一个递归的 dp 函数，一般来说函数的参数就是状态转移中会变化的量，也就是上面说到的「状态」；函数的返回值就是题目要求我们计算的量。就本题来说，状态只有一个，即「目标金额」，题目要求我们计算凑出目标金额所需的最少硬币数量。

dp 函数：dp(n) 表示，输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 所需的最少硬币数量。

带备忘录的递归

递归方程：

\[dp(n)=\begin{cases} 0，n=0\\ -1，n<0 \\min\{dp(n-coin)+1|coin \in coins\} ,n>0\\\end{cases} \]

class Solution {
   int[] memo;

	public int coinChange(int[] coins, int amount) {
		memo = new int[amount + 1];
		Arrays.fill(memo, -2);//填入一个memo不可能取到的值
		return dp(coins, amount);
	}

//表示凑出n金额最少需要dp(coins,n)个硬币
	public int dp(int[] coins, int amount) {
		// base case
		if (amount < 0)
			return -1;
		if (amount == 0)
			return 0;
		if (memo[amount] != -2)  //先判断备忘录中有没有值，有的话直接返回
			return memo[amount];
		int res = Integer.MAX_VALUE;  
		for (int coin : coins) {
			int subProblem = dp(coins, amount-coin);
			if(subProblem==-1) continue;
			res = Math.min(res, subProblem+1);
		}
		memo[amount] = (res==Integer.MAX_VALUE)?-1:res;
		return memo[amount];
	}
}

dp 数组的迭代解法

dp 数组的定义：当目标金额为 i 时，至少需要 dp[i] 枚硬币凑出。

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
		//当目标金额为i时，至少需要 dp[i] 枚硬币凑出。
		int[] dp = new int[amount+1];
		Arrays.fill(dp, amount+1);
		//base case
		dp[0]=0;
		//外层循环遍历,金额为i时，需要的最少硬币数
		for(int i=1;i<=amount;i++) {
			//遍历每一个硬币
			for(int coin:coins) {
				if (i - coin < 0) {
	                continue;
	            }
				//不取硬币或取硬币
				dp[i]=Math.min(dp[i], dp[i-coin]+1);
			}
		}
		return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];
	}

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From： https://www.cnblogs.com/ANDQE/p/16925979.html