完全背包
思路
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
遍历顺序：
1.因为每个物品可以放入背包多次，所以从小到大遍历
2.先遍历物品再遍历背包，解决的是组合问题
先遍历背包再遍历物品，解决的是排列问题
实现
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void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
518. 零钱兑换 II
思路
1.数组以及下标含义
dp[j]:背包总重量为j时的组合数量
2.递推公式
dp[j] += dp[j - num[i]]
3.初始化
dp[0]初始化为1，这是递归开始的基础
4.遍历顺序
这道题是一个组合问题，所以要先遍历物品，再遍历背包。
实现
点击查看代码
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n×m)，m为背包重量（amount）
- 空间复杂度：O(m)
377. 组合总和 Ⅳ
思路
这道题和上一道题都属于完全背包问题，唯一的而区别在于
- 这道题需要考虑顺序，是一道排列问题
- 上一道题不需要考虑顺序，是一道组合问题
所以，这道题需要先遍历背包，再遍历物品。
实现
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector
vector
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i <= target; i++) {
for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
if(i >= nums[j] && dp[i] <= INT32_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n×m)，m为背包的重量（target）
- 空间复杂度：O(n)