前言
比赛时考到了这一题，于是写一篇题解纪念一下。
思路
设 \(dp_{i, j}\) 表示前 \(i\) 张钞票分给两人，两人差尽可能接近 \(j\) 的情况下，获得的总钱数。此时不考虑赌场操作。
显然可以分三种情况讨论：
- 不用第 \(i\) 张钞票：即 \(dp_{i-1, j}\)。
- 把第 \(i\) 张钞票给第一个人：显然为 \(dp_{i-1, |j - a_i|} + a_i\)
，其中 \(|x|\) 表示 \(x\) 的绝对值。 - 把第 \(i\) 张钞票给第二个人：同理，是 \(dp_{i-1, j + a_i}\)。
因此，状态转移方程为：
\[dp_{i, j} = \begin{cases}dp_{i-1, j}\\dp_{i-1, |j - a_i|} + a_i\\dp_{i-1, j + a_i}\end{cases} \]重点代码如下。这里加了滚动数组的空间优化。
int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647;
for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
{
for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);
for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
}
那么，两人平均分到 \(\left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor\) 的钱，剩下 \(\Big(\small sum - \left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor\Big)\) 的钱去赌场。返回双倍钱，则两人都分得 \(\Big(\small sum - \left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor\Big)\) 这些钱。
printf("%d", sum - dp[0] / 2);
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 505, M = 2e5 + 5;
int a[N], dp[M], tdp[M];
int main()
{
int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647;
for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
{
for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);
for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
}
printf("%d", sum - dp[0] / 2);
return 0;
}
希望能帮助到大家！
首发：2022-07-17 21:03:57