前言
这题是一道挺好的 \(\texttt{dp}\) 题啊，但大家的题解都写得不够详细。
所以，我来补一篇 \(\LaTeX\) 题解，希望能帮助大家。
思路
首先是读入，为了方便，我让字符串下标从 \(1\) 开始。
string a;
int n; //字符串长度。
void Input()
{
cin >> a;
//个人习惯将起点下标变为 1 来算。
n = a.length();
a = '@' + a;
}
为了方便，我们后面用 \(num(x, y)\) 表示下标为 \([x, y]\) 所构成的数。
容易想到，题目就是要我们求出：任意一个位置的最大结束下标。
考虑到，算这个之前，我们还得先算一算：任意一个位置的最小开始下标。
具体地，设 \(f_i\) 表示将前 \(i\) 位拆成递增数，最后一个数最小为 \(num(f_i, i)\)。
想要最小，则 \(f_i\) 要尽可能大。
我们可以画一个图，方便推状态转移方程。
所以，状态转移方程如下。
\[f_i = \max\limits_{j=1}^{i}\begin{cases}j & num(f_{j-1}, j-1) < num(j, i)\\1 & j = 1\end{cases} \]这里，我们发现一个问题：如何比较两个数的大小？
题解里的解决办法，代码稍长，提供一种简单的比较方式。
- 分离出 \(num(x, y)\)，注意要去除前导 \(0\)。
- 比较两个数（注意两个数实际上使用
string存储的）：- 如果长度不等，则长度小的数小。
- 如果长度相等，直接按字典序比较即可。
这样代码会短很多。
string num(int x, int y)
//将 a[i]~a[j] 的数分割出来，去除前导 0。
{
string s = a.substr(x, y-x+1);
while (s.length() > 1 && s[0] == '0') s.erase(0, 1);
return s;
}
bool Less(string x, string y)
//比较 x 与 y 两个数，注意不是比较字典序。
//当且仅当 x < y 返回 true。
{
if (x.length() != y.length()) return x.length() < y.length();
return x < y; //长度相等，则字典序比较等同于数的比较。
}
bool cmp(int x1, int y1, int x2, int y2)
//等同于：比较 num(x1, y1) 与 num(x2, y2) 的大小。
{
string t1 = num(x1, y1), t2 = num(x2, y2);
return Less(t1, t2);
}
有了这个 cmp() 函数，我们就可以很方便地完成第一次动规。
int f[N];
void DP1()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = i; j >= 2; j--) //从后往前枚举，第一次枚举到的 j 一定是最大的。
if (cmp(f[j-1], j-1, j, i))
{
f[i] = j;
break;
}
if (f[i] == 0) f[i] = 1; //如果没有符合的，则从头开始算一个。
}
}
接下来，就是处理『最小开始下标』了。
设 \(dp_i\) 表示将 \([i, n]\) 这一段拆成递增数，第一个数最大为 \(num(i, f_i)\)。
我们再画一张图。
所以，状态转移方程如下。
\[dp_i = \max\limits_{j = i}^{f_n - 1}\begin{cases}j & num(i, j) < num(j+1, dp_{j+1})\end{cases} \]并且有 \(dp_{f[n]} = n\)。
但是，这里并没有那么简单！
如果你直接就这样打了，可能只会获得 \(\texttt{90pts}\)。
错误原因是后面的 \(0\) 造成的。
举例来说，有一个数 \(\texttt{1234050}\)。
如果单纯这样做，结果为 \(\texttt{1,2,3,40,50}\)。
发现 \(f_7 = 6\)，所以初始化 \(dp_6 = 7\)。
但是，第 \(5\) 位是 \(\texttt{0}\)，根据样例，\(\texttt{050}\) 也是符合的，并且末尾元素仍然最小！
显然，保持最优解的情况下，位数多一点更好。
所以，我们应该也让 \(dp_5 = 7\)。
这样，结果为 \(\texttt{12,34,050}\)。
代码比较好打，只需要注意此处的判断即可。
int dp[N];
void DP2()
{
dp[f[n]] = n;
//关键步骤，增添最后一个数的前导 0。
int pos = f[n];
for (pos = f[n]; pos-1 && a[pos-1] == '0'; pos--) dp[pos-1] = n;
for (int i = pos-1; i; i--) //剩下的就和 DP1() 基本相等。
for (int j = f[n] - 1; j >= i; j--)
if (cmp(i, j, j+1, dp[j+1]))
{
dp[i] = j;
break;
}
}
大功告成，最后输出比较容易了。
void Output()
{
string ans = ""; //本质就是输出了，只不过要处理末尾逗号罢了。
for (int i = 1; i <= n; i = dp[i] + 1)
{
for (int j = i; j <= dp[i]; j++) ans += a[j];
ans += ',';
}
ans.erase(ans.length()-1, 1); //擦除最后一位逗号。
cout << ans;
}
代码
其实上面就是代码了，组合在一起即可。
但还是给出完整代码。具体注释参照上面。
这份完整代码保留的注释是调试语句，大家可以看一下。
码量不大。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 505
using namespace std;
string a;
int n;
void Input()
{
cin >> a;
n = a.length();
a = '@' + a;
}
string num(int x, int y)
{
string s = a.substr(x, y-x+1);
while (s.length() > 1 && s[0] == '0') s.erase(0, 1);
return s;
}
bool Less(string x, string y)
{
if (x.length() != y.length()) return x.length() < y.length();
return x < y;
}
bool cmp(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
string t1 = num(x1, y1), t2 = num(x2, y2);
return Less(t1, t2);
}
int f[N];
void DP1()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = i; j >= 2; j--)
if (cmp(f[j-1], j-1, j, i))
{
f[i] = j;
break;
}
if (f[i] == 0) f[i] = 1;
//printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp1[i]);
}
/*
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("f[%d] = %d.\n", i, f[i]);
printf("\n"); */
}
int dp[N];
void DP2()
{
dp[f[n]] = n;
int pos = f[n];
for (pos = f[n]; pos-1 && a[pos-1] == '0'; pos--) dp[pos-1] = n;
//printf("pos = %d.\n", pos);
for (int i = pos-1; i; i--)
for (int j = f[n] - 1; j >= i; j--)
if (cmp(i, j, j+1, dp[j+1]))
{
dp[i] = j;
//printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp2[i]);
break;
}
//for (int i = 1; i <= n; i++) printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp[i]);
}
void Output()
{
string ans = "";
for (int i = 1; i <= n; i = dp[i] + 1)
{
for (int j = i; j <= dp[i]; j++) ans += a[j];
ans += ',';
}
ans.erase(ans.length()-1, 1);
cout << ans;
}
int main()
{
Input();
DP1();
DP2();
Output();
return 0;
}
尾声
建议大家好好复盘一下状态转移方程。
顺便给出时间复杂度：
cmp()函数的时间复杂度大约是 \(O(n)\)，实际运行时可以理解为常数。- 两次 \(\texttt{DP}\) 的时间复杂度都是 \(O(n^2 \times n = n^3)\)，实际运行接近 \(O(n^2)\)。
码字不易，感谢大家观看，希望能帮助到大家！
首发：2022-06-20 18:12:59
标签：return,string,int,题解,P1415,length,num,dp From： https://www.cnblogs.com/liangbowen/p/16622887.html