前言
这一题内部比赛时考到了,个人觉得是一道二分答案好题。
本题时间很宽松,导致 \(O(n \log^2 n)\) 的代码可以跑过去。
但是,我内部比赛的时限是 \(1\) 秒,这就导致需要 \(O(n \log n)\) 的代码了。
思路一
显然是一道二分答案题目。
二分答案老套路,设 \(f(x)\) 表示 \(x\) 是否能作为答案,易得 \(f(x)\) 单调递增。
所以,可以使用二分答案。
重点是 \(\texttt{check()}\) 函数如何编写,我们可以使用贪心的思想。
对于每个气球,我们可以得出,打掉它的时间 \(t_i\) 不得超过 \(\left\lfloor\dfrac{x - h_i}{s_i}\right\rfloor\)。
我们可以对 \(t\) 数组从小到大排序。
对于 \(0 \le i < n\),我们从贪心的角度思考。如果 \(i > t_i\),说明已经无法满足 \(x\) 了。
如果全部都符合,说明 \(t\) 数组的攻击方式就是一种合法的方案,那么 \(x\) 这个答案是可行的。
\(\texttt{check()}\) 函数代码如下。
typedef long long LL;
int n, h[N], s[N];
LL t[N];
bool chk(LL x)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
//如果时刻 0 打掉它都无法满足,立刻叉掉。
if (x < h[i]) return false;
t[i-1] = (x - h[i]) / s[i]; //为了方便处理,下标从 0 开始。
}
sort(t, t+n);
for (int i = 0; i < n; i++)
if (t[i] < i)
return false;
return true;
}
这里的时间复杂度是 \(O(n \log n)\),加上二分的板子,需要 \(O(n \log^2 n)\)。
可以通过此题,但还可以优化吗?
思路二
时间复杂度瓶颈在于排序,如果想降到 \(O(n)\),就需要使用 \(O(n)\) 的排序算法。
你想到什么方法了?对,桶排序!
我们发现,当 \(t_i \ge n\),说明任意时刻打掉它都是可行的,所以可以忽略不计。
这样,桶数组空间就符合了。
需要注意,\(\texttt{check()}\) 开始前要初始化桶。
bool chk(LL x)
{
memset(box, 0, sizeof(box));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
//在主程序外面保证了 x 大于等于 h[i],就不需要担心了。
LL t = (x - h[i]) / s[i];
if (t < n) box[t]++;
}
int cur = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 1; j <= box[i]; j++)
{
if (i < cur) return false;
cur++;
}
return true;
}
时间复杂度终于优化成了 \(O(n)\)。
最后,我们补全二分。
LL FIND(LL l, LL r)
{
//显然是模版,完全没改变。
while (l < r)
{
LL mid = l + r >> 1;
if (chk(mid)) r = mid;
else l = mid+1;
}
return r;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
int maxn = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &h[i], &s[i]), maxn = max(maxn, h[i]);
//从 maxn 开始,保证了 chk() 函数不会出现 x < h[i] 的情况。
//10^9 + 10^5 * 10^9 近似看成 10^15,毕竟大一点没坏处。
printf("%lld\n", FIND(maxn, 1e15));
return 0;
}
希望对大家有帮助!
首发:2022-07-02 10:33:00