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算法流程
- 任意选择一个参考点
- 对于在mesh上的每个三角形：
- 形成由参考点与该三角形所围成的四面体
- 计算四面体的协方差（通过仿射变换映射到一个已知的正则四面体
- 将这个协方差加到累加器中
- 将累加器从协方差矩阵转换为惯性张量
固定的惯性张量可以表示为：
\[I=1_3\ tr\ C\ -C \]其中\(1_3\)是\(3 \times 3\)的单位矩阵，以及\(C\)是物体的质量权重的协方差矩阵。
\[C=\sum_{n} m_n X_n X_n^T \]C是一个封闭、简单的几何体。
正则四面体的协方差
正则四面体有四个顶点\(v_0=(0,0,0),v_1=(1,0,0),v_2=(0,1,0),v_3=(0,0,1)\),我们首先得到协方差矩阵的连续形式：
\[ \mathbf{C}=\int_{V} \rho \mathbf{x} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} d V=\rho \int_{V} \mathbf{x} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} d V \]其中\(\rho\)是物体的密度（常量）.其中\(C\)是一个\(3 \times 3\)的对称矩阵，只包含两个分量。
因此我们只需要求解两个分量\(C_{xx},C_{xy}\)即可，考虑正则四面体的密度为1,我们有：
\[\begin{array}{c} C_{x x}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} x^{2} d x d y d z=\frac{1}{60} \\ C_{x y}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{z-y} \int_{0}^{z-y} x y d x d y d z=\frac{1}{120} \end{array} \]因此，
\[\mathbf{C}_{\text {canonical }}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{60} & \frac{1}{120} & \frac{1}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{1}{60} & \frac{1}{120} \\ \frac{1}{120} & \frac{1}{120} & \frac{1}{60} \end{array}\right] \]变换协方差矩阵
为了映射\({C}_{\text {canonical }}\)到四面体，我们需要用两个方式操作协方差矩阵。
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我们通过对每个输入点应该线性变换A,从而得到变换后的矩阵:
\[\begin{aligned} \mathbf{C}^{\prime} &=\rho \int_{V}(\mathbf{A} \mathbf{x})(\mathbf{A} \mathbf{x})^{\mathrm{T}} d V_{(\mathbf{A})} \\ &=\rho \int_{V} \mathbf{A x} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}^{\mathrm{T}} d V \operatorname{det} \mathbf{A} \\ &=(\operatorname{det} \mathbf{A}) \mathbf{A} \mathbf{C A}^{\mathrm{T}} \end{aligned} \]\(det A\)因子描述：变换A扭曲了积分的体积元（\(d V_{(A)}=dV\ det A\)）
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我们通过对每个输入点应用偏移\(\Delta x\),从而得到偏移后的矩阵：
\[\begin{aligned} \mathbf{C}^{\prime} &=\operatorname{Translate}(\mathbf{C}, \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}) \\ &=\rho \int_{V}(\mathbf{x}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x})(\mathbf{x}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x})^{\mathrm{T}} d V \\ &=\rho \int_{V}\left(\mathbf{x x}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}+\mathbf{x} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}+\Delta \mathbf{x} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\right) d V \\ &=\rho \int_{V} \mathbf{x x}^{\mathrm{T}} d V+\rho \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x} \int_{V} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} d V+\rho \int_{V} \mathbf{x} d V \Delta \mathbf{x}^{\mathrm{T}}+\rho \Delta \mathbf{x} \Delta \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \int_{V} d V \\ &=\mathbf{C}+m\left(\boldsymbol{\Delta} \overline{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}+\overline{\mathbf{x}} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}+\Delta \mathbf{x} \Delta \mathbf{\Delta} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\right) \end{aligned} \]其中\(\overline{\mathbf{x}}\)是输入点的质心用于构造C，以及\(m=\rho V\)是这些点的总质量。
正则四面体映射到目标四面体
我们首先开始于一个正则四面体，通过线性变换使其与目标形状相同，然后平移它使其在相同的位置。
正则四面体的顶点表示为：\(\{v_0,v_1,v_2,v_3\}\)，目标四面体的顶点表示为\(\{w_0,w_1,w_2,w_3\}\)
为了使四面体的形状相同，我们定义以下线性变换：
\[\mathbf{A}\left[\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{0}\left|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{0}\right| \mathbf{v}_{3}-\mathbf{v}_{0}\right]=\left[\mathbf{w}_{1}-\mathbf{w}_{0}\left|\mathbf{w}_{2}-\mathbf{w}_{0}\right| \mathbf{w}_{3}-\mathbf{w}_{0}\right] \]因为我们使用了正四面体有：
\[\mathbf{A}\left[\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{0}\left|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{0}\right| \mathbf{v}_{3}-\mathbf{v}_{0}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]因此我们可以得到：
\[\mathbf{A}=\left[\mathbf{w}_{1}-\mathbf{w}_{0}\left|\mathbf{w}_{2}-\mathbf{w}_{0}\right| \mathbf{w}_{3}-\mathbf{w}_{0}\right] \]因此有\(C’=（det A）AC_{canonical}A^T\)，现在我们发现\(C''=Translate(C',w_0-v_0)\)，又因为\(v_0=0\),因此我们可以得到\(C''=Translate(C',w_o)\),\(w_o\)是我们选择的参考点。
其他质量属性（四面体）
质量：\(m=\rho V\)
体积：\(V=\frac{1}{6}detA\),因为\(V=\frac{|c\cdot(a\times b)|}{6}\)
质心：四个顶点的平均值
累加结果
我们定义如下一组质量属性：\(B_n=\{C_n,x_n,m_n\}\)
我们想要找到\(B_3=B_1+B_2\):
- 协方差：设想\(C_1,C_2\)在同一原点上计算，有\(C_3=C_1+C_2\)
- 质心：\(\overline{\mathbf{x}}_3=（\overline{\mathbf{x}}_1m_1+\overline{\mathbf{x}}_2m_2）/(m_1+m_2)\)
- 总质量：\(m3=m_1+m_2\)
因为\(C_{total}\)是围绕我们的选择的参考点计算的，我们希望将它移动到质心上（物理模拟器最希望它移动的地方）：
\[C_{total}’=Translate(C_{total},w_0-x_{total}) \]最后我们便可以根据一开始的公式从\(C_{total}’\)计算出\(I_{total}'\)。
参考资料
[BB04] BLOW J., BINSTOCK A.: How to find the inertia tensor (or othermass properties) of a 3d solid body represented by a triangle mesh
标签：body,mathbf,tensor,int,四面体,frac,Delta,triangle,mathrm From： https://www.cnblogs.com/Ligo-Z/p/16921551.html