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2863. 最短路

给一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的仙人掌。仙人掌定义如下：

任意一条边至多只出现在一条简单回路的无向连通图称为仙人掌。

有 \(Q\) 组询问，每次询问两点之间的最短路径。

输入格式

第一行包含三个整数，分别表示 \(N,M,Q\)。

下接 \(M\) 行，每行三个整数 \(v,u,w\) 表示一条无向边 \(v-u\)，长度为 \(w\)。

最后 \(Q\) 行，每行两个整数 \(v,u\) 表示一组询问。

输出格式

输出 \(Q\) 行，每行一个整数表示询问的答案。

数据范围

\(1 \le N \le 10000\),
\(1 \le M \le 12000\),
\(1 \le Q \le 10000\)

输入样例：

9 10 2
1 2 1
1 4 1
3 4 1
2 3 1
3 7 1
7 8 2
7 9 2
1 5 3
1 6 4
5 6 1
1 9
5 7

输出样例：

5
6

解题思路

仙人掌

仙人掌是一个连通图，多个仙人掌构成一个沙漠。其等价于对于任意一条边来说其至多属于一个环上

处理这类问题通常需要先将原图转化为圆方树，圆方树分为圆点（原图中的点）和方点（新建的点），构建主要是针对环的情况，将某个入点作为转化后的圆方树的较高点，新建一个方点（一个环对应一个方点），该入点和方点权值置为 \(0\)，环上的其余点向方点建边，权值为到入点的较小值。通常需要在边双连通分量算法上改进建圆方树，即当遇到桥时直接建边，当遇到环时建方点预处理一些信息

本题仙人掌转换为圆方树后，求解两点之间的最短路，设两点的 \(lca\) 的为 \(p\)，分情况讨论：\(p\) 为圆点，可以发现最短路即为圆方树两点的最短路；\(p\) 为方点，则其最短路分为三部分，一部分为环上的部分，另外两个部分为最高点为圆点的部分，这两部分长度是固定的，环上取较小的一部分即可

• 时间复杂度：\(O(n+m+qlogm)\)

代码

// Problem: 最短路
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2866/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=12005,M=N*3;
int n,new_n,m,q;
int h[2][N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dfn[N],low[N],timestamp;
int fu[N],fw[N],fe[N];
int f[N][15],d[N],dist[N],t,X,Y;
int s[N],s_tot[N];
void add(int h[],int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void build_circle(int x,int y,int z)
{
	int sum=z;
	for(int i=y;i!=x;i=fu[i])
	{
		s[i]=sum;
		sum+=fw[i];
	}
	s[x]=s_tot[x]=sum;
	add(h[1],x,++new_n,0);
	for(int i=y;i!=x;i=fu[i])
	{
		s_tot[i]=sum;
		add(h[1],new_n,i,min(s[i],sum-s[i]));
	}
}
void tarjan(int x,int from)
{
	dfn[x]=low[x]=++timestamp;
	for(int i=h[0][x];~i;i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		if(!dfn[j])
		{
			tarjan(j,i);
			low[x]=min(low[x],low[j]);
			fu[j]=x,fw[j]=w[i],fe[j]=i;
			if(dfn[x]<low[j])add(h[1],x,j,w[i]);
		}
		else if(i!=(from^1))low[x]=min(low[x],dfn[j]);
	}
	for(int i=h[0][x];~i;i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		if(dfn[x]<dfn[j]&&fe[j]!=i)
			build_circle(x,j,w[i]);
	}
}
void dfs_lca(int x,int fa)
{
	d[x]=d[fa]+1;
	f[x][0]=fa;
	for(int i=1;i<=t;i++)f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for(int i=h[1][x];~i;i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		dist[j]=dist[x]+w[i];
		dfs_lca(j,x);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(d[x]<d[y])swap(x,y);
	for(int i=t;i>=0;i--)
		if(d[f[x][i]]>=d[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=t;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	X=x,Y=y;
	return f[x][0];
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x,y,z;
    	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    	add(h[0],x,y,z),add(h[0],y,x,z);
    }
    new_n=n;
    tarjan(1,-1);
    t=__lg(new_n);
    dfs_lca(1,0);
    while(q--)
    {
    	int x,y;
    	scanf("%d%d",&x,&y);
    	int p=lca(x,y);
    	if(p<=n)printf("%d\n",dist[x]+dist[y]-2*dist[p]);
    	else
    		printf("%d\n",dist[x]-dist[X]+dist[y]-dist[Y]+min(abs(s[X]-s[Y]),s_tot[X]-abs(s[X]-s[Y])));
    }
    return 0;
}