Prefix Median

题目链接：luogu AT2366

题目大意

给你一个长度为 2n-1 的序列，你可以任意排序它们，问你有多少个不同的 b 数组。
b 数组的第 i 位为 a 数组 1~2i-1 区间的数的中位数。

思路

考虑 \(b\) 的限制，你考虑 \(b_i\) 跟 \(b_{i-1}\) 的区别。
就是每次加入两个数，如果都在当前中位数左边中位数左移，都在右边就右移，一左一右就不变。

所以中位数只会左右移一格，所以如果我们把 \(a\) 排序，那：
\(a_{n-i+1}\leqslant b_i\leqslant a_{n+i-1}\)

那你接下来就是要满足每次至多移动一个位置。
也就是我们可以不用管 \(a\) 放的情况，你就如果要 \(a\) 某个位置就跨过去，然后那中间的位置就是先不放进去。
也就是说我们只需要限制向内走的情况。

那仍然不好处理，考虑反过来，那我们确定了 \(b_i,b_{i+1}\) 的时候，就不能再用 \((b_i,b_{i+1})\) 的数字了。
那我们就可以 DP 了，设 \(f_{i,j,k}\) 为当前弄好了 \(i\) 个，左边有 \(j\) 个右边有 \(k\) 个。
然后每次加入新的两个，注意到可能会是一样的，那一样的是同一个应该要，所以你 \(j,k\) 这连个不能加。
然后就分不变位置，左移和右移，然后左移右移你要枚举走到的位置。

然后复杂度 \(O(n^4)\) 没毛病。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

const int N = 105;
int n, a[N];
ll f[N][N][N];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n * 2; i++) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + 2 * n);
	
	f[0][0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int L = a[n - i + 1] != a[n - i], R = a[n + i] != a[n + i - 1];
		for (int j = 0; j <= 2 * n; j++)
			for (int k = 0; k <= 2 * n; k++) {
				(f[i][j + L][k + R] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
				for (int num = 0; num < j + L; num++)
					(f[i][num][k + R + 1] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
				for (int num = 0; num < k + R; num++)
					(f[i][j + L + 1][num] += f[i - 1][j][k]) %= mo;
			}
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= 2 * n; i++)
		for (int j = 0; j <= 2 * n; j++)
			(ans += f[n - 1][i][j]) %= mo;
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}